Câu 3 Quá trình lặp nào dưới đây hội tụ đến nghiệm của phương trình x^3-6x-14=0 trên [3,4] 2 x_(n)=(x_(n-1)^3-14)/(6),x_(0)=3,ngeqslant 1 x_(n)=sqrt [3](6x_(n-1)+14),x_(0)=3,ngeqslant 1 x_(n)=6x_(n-1)^2+14,x_(0)=3,ngeqslant 1 x_(n)=6x_(n-1)+14,x_(0)=3,ngeqslant 1

Phương trình đã cho là x³ - 6x - 14 = 0. Để tìm quá trình lặp hội tụ đến nghiệm của phương trình này trên khoảng [3, 4], ta cần biến đổi phương trình thành dạng x = g(x) sao cho hàm g(x) thỏa mãn điều kiện hội tụ. Điều kiện này thường liên quan đến |g'(x)| < 1 trong khoảng đang xét.<br /><br />Hãy kiểm tra từng phương trình lặp:<br /><br />* **Phương trình 1: xₙ = (xₙ₋₁³ - 14) / 6**<br /><br />Đây là phương trình lặp được tạo ra bằng cách giải phương trình ban đầu cho x: x³ = 6x + 14 => x = (x³ - 14)/6. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra đạo hàm của hàm g(x) = (x³ - 14)/6: g'(x) = x²/2. Trên khoảng [3, 4], g'(x) nằm trong khoảng [4.5, 8], lớn hơn 1. Do đó, phương trình lặp này **không hội tụ**.<br /><br />* **Phương trình 2: xₙ = ³√(6xₙ₋₁ + 14)**<br /><br />Phương trình này được tạo ra từ x³ = 6x + 14. Hàm g(x) = ³√(6x + 14). Đạo hàm là g'(x) = 2 / (³√(6x + 14)²). Trên khoảng [3, 4], g'(x) sẽ nhỏ hơn 1. Do đó, phương trình lặp này **có khả năng hội tụ**.<br /><br />* **Phương trình 3: xₙ = 6xₙ₋₁² + 14**<br /><br />Hàm g(x) = 6x² + 14. Đạo hàm g'(x) = 12x. Trên khoảng [3, 4], g'(x) nằm trong khoảng [36, 48], lớn hơn 1. Phương trình lặp này **không hội tụ**.<br /><br />* **Phương trình 4: xₙ = 6xₙ₋₁ + 14**<br /><br />Hàm g(x) = 6x + 14. Đạo hàm g'(x) = 6. Vì |g'(x)| > 1, phương trình lặp này **không hội tụ**.<br /><br /><br />**Kết luận:**<br /><br />Quá trình lặp hội tụ đến nghiệm của phương trình x³ - 6x - 14 = 0 trên [3, 4] là:<br /><br />**xₙ = ³√(6xₙ₋₁ + 14), x₀ = 3, n ≥ 1**<br /><br />Lưu ý: Mặc dù phương trình 2 có khả năng hội tụ, việc hội tụ thực tế phụ thuộc vào giá trị ban đầu x₀ và tốc độ hội tụ có thể chậm. Để chắc chắn hơn, ta nên kiểm tra thêm bằng cách thực hiện một vài bước lặp.<br />