Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau: F(x)= ) 0&nhat (a)u&xlt 0 (1)/(27)x^3&nhat (a)u&0leqslant xleqslant 3 1&nhat (a)u&xgt 3 a TinhP(1lt Xleqslant 5) b TinhE(X)

a. Để tính $P(1<X\leq5)$, ta cần tính diện tích dưới đồ thị của hàm mật độ xác suất $f(x)$ từ $x=1$ đến $x=5$. Tuy nhiên, do hàm phân phối xác suất $F(x)$ chỉ xác định trong khoảng $0\leq x\leq3$, nên $P(1<X\leq5)$ thực ra là $P(X>3)$, tức là diện tích dưới đồ thị của $f(x)$ từ $x=3$ đến $x=5$. Điều này tương đương với $F(5)-F(3)=1-\frac{1}{27}*3^3=1-\frac{1}{27}*27=1-1=0$.<br />b. Kỳ vọng $E(X)$ của một biến ngẫu nhiên liên tục được tính bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị mà biến có thể nhận và xác suất tương ứng của chúng. Trong trường hợp này, $E(X)=\int x*f(x)dx$ từ $0$ đến $3$. $f(x)$ bằng $\frac{1}{27}x^3$, ta có: $E(X)=\int x*\frac{1}{27}x^3 dx$ từ $0$ đến $3=\frac{1}{27}\int x^4 dx$ từ $0$ đến $3=\frac{1}{27}[\frac{1}{5}x^5]_{0}^{3}=\frac{1}{27}[\frac{1}{5}*3^5-\frac{1}{5}*0^5]=\frac{1}{27}*\frac{243}{5}=\frac{9}{5}$.