Cho tam giác A BC . Điểm I trên cạnh AC sao cho overrightarrow (CI)=(1)/(5)overrightarrow (CA) Điểm J thỏa mãn hệ thức nào dưới đây thì B,I , J thẳng hàng? overrightarrow (BJ)=(3)/(4)overrightarrow (AC)+(3)/(5)overrightarrow (AB) overrightarrow (BJ)=(3)/(4)overrightarrow (AC)-(3)/(5)overrightarrow (AB) overrightarrow (BJ)=(3)/(5)overrightarrow (AC)+(3)/(4)overrightarrow (AB) overrightarrow (BJ)=(3)/(5)overrightarrow (AC)-(3)/(4)overrightarrow (AB)

Đáp án đúng là $\overrightarrow{BJ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.<br /><br />**Giải thích:**<br /><br />Để B, I, J thẳng hàng, thì $\overrightarrow{BI}$ phải cùng phương với $\overrightarrow{BJ}$. Ta có $\overrightarrow{CI} = \frac{1}{5}\overrightarrow{CA} = -\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$.<br /><br />Nếu $\overrightarrow{BJ} = k\overrightarrow{BI}$ với k là một số thực, thì B, I, J thẳng hàng. Chỉ có đáp án $\overrightarrow{BJ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ thỏa mãn điều kiện này khi ta đặt $k = -\frac{15}{16}$. Khi đó:<br /><br />$-\frac{15}{16}\overrightarrow{BI} = -\frac{15}{16}(\overrightarrow{BA} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{15}{16}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BJ}$<br /><br />Như vậy, $\overrightarrow{BJ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ đảm bảo B, I, J thẳng hàng.<br />