Điền dáp án thích hợp vào ô trống (chỉ sử dụng chữ số, dấu ","và dấu "-"). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0),B(3;4;1),D(-1;3;2) Điểm C(a;b;c) sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB, CD và có góc C bằng 45^circ . Tính a+b+c Đáp án: square

Để tìm điểm \( C(a; b; c) \) sao cho \( ABCD \) là hình thang với hai cạnh đáy \( AB \) và \( CD \), và góc \( C \) bằng \( 45^\circ \), ta cần thực hiện các bước sau:<br /><br />1. **Tính vector của các cạnh:**<br /> - Vector \( \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1; 4-2; 1-0) = (2; 2; 1) \)<br /> - Vector \( \overrightarrow{CD} = D - C = (-1-a; 3-b; 2-c) - C = (-1-a; 3-b; 2-c) \)<br /><br />2. **Điều kiện cho hình thang:**<br /> - Hai cạnh đáy \( AB \) và \( CD \) phải song song.<br /> - Góc giữa \( AB \) và \( CD \) phải bằng \( 45^\circ \).<br /><br />3. **Điều kiện song song:**<br /> - Vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) phải song song.<br /> - Điều này có nghĩa là \( 2(-1-a) = 2 \) và \( 2(3-b) = 2 \).<br /> - Giải phương trình: <br /> \[<br /> 2(-1-a) = 2 \implies -1-a = 1 \implies a = -2<br /> \]<br /> \[<br /> 2(3-b) = 2 \implies 3-b = 1 \implies b = 2<br /> \]<br /><br />4. **Điều kiện góc \( 45^\circ \):**<br /> - Tính cosin của góc giữa \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \):<br /> \[<br /> \cos 45^\circ = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}<br /> \]<br /> - Tính tích vô hướng:<br /> \[<br /> \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1-a) + 2 \cdot (3-b) + 1 \cdot (2-c)<br /> \]<br /> \[<br /> = 2(-1-a) + 2(3-b) + 1(2-c)<br /> \]<br /> \[<br /> = -2 - 2a + 6 - 2b + 2 - c<br /> \]<br /> \[<br /> = 6 - 2a - 2b - c - 2<br /> \]<br /> - Tính độ dài:<br /> \[<br /> |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3<br /> \]<br /> \[<br /> |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-1-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2}<br /> \]<br /> \[<br /> = \sqrt{(1+a)^2 + 1^2 + (2-c)^2}<br /> \]<br /> - Thay vào công thức cosin:<br /> \[<br /> \cos 45^\circ = \frac{4 - 2a - 2b - c}{3 \cdot \sqrt{(1+a)^2 + 1 + (2-c)^2}}<br /> \]<br /> - Giải phương trình này với \( a = -2 \) và \( b = 2 \):<br /> \[<br /> \cos 45^\circ = \frac{4 - 2(-2) - 2(2) - c}{3 \cdot \sqrt{(1-2)^2 + 1 + (2-c)^2}}<br /> \]<br /> \[<br /> = \frac{4 + 4 - 4 - c}{3 \cdot \sqrt{1 + 1 + (2-c)^2}}<br /> \]<br /> \[<br /> = \frac{4 - c}{3 \cdot \sqrt{2 + (2-c)^2}}<br /> \]<br /> - Giải phương trình này để tìm \( c \):<br /> \[<br /> \frac{4 - c}{3 \cdot \sqrt{2 + (2-c)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> 4 - c = \frac{3 \cdot \sqrt{2 + (2-c)^2} \cdot \sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> 4 - c = \frac{3 \cdot \sqrt{2(1 + (2-c)^2)}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> 4 -