Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD , BC. a) Chứng minh: overrightarrow (MN)=(1)/(2)(overrightarrow (AB)+overrightarrow (DC)) b) Xác định điểm O sao cho: overrightarrow (OA)+overrightarrow (OB)+overrightarrow (OC)+overrightarrow (OD)=overrightarrow (0) điểm O sao cho: OA+OB+0 a điểm của AB CD

**a) Chứng minh:** $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$<br /><br />Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}$.<br /><br />Vì M là trung điểm AD nên $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MD}$. Vì N là trung điểm BC nên $\overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{CN}$.<br /><br />Do đó:<br /><br />$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD}) + (\overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$<br /><br />Vậy $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$<br /><br /><br />**b) Xác định điểm O**<br /><br />Để $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$, điểm O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo AC và BD. Điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc phép cộng vectơ. Nếu gọi I là trung điểm AC và J là trung điểm BD thì $\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OJ}$. Từ đó suy ra điều kiện cần tìm.<br />