Câu 18: Cho hệ phương trình ) x+y=2m x^2+y^2=2m+2) là nghiệm của hệ. Với giá trị nào của m thì P=x_(0)y_(0)-3(x_(0)+y_(0)) đạt giá trị nhỏ nhất

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( P = x_0 y_0 - 3(x_0 + y_0) \) đạt giá trị nhỏ nhất. Đầu tiên, chúng ta giải hệ phương trình đã cho:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = 2m \\<br />x^2 + y^2 = 2m + 2<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Từ phương trình thứ nhất, ta có \( y = 2m - x \). Thay vào phương trình thứ hai:<br /><br />\[<br />x^2 + (2m - x)^2 = 2m + 2<br />\]<br /><br />Mở rộng và sắp xếp lại:<br /><br />\[<br />x^2 + 4m^2 - 4mx + x^2 = 2m + 2<br />\]<br /><br />\[<br />2x^2 - 4mx + 4m^2 = 2m + 2<br />\]<br /><br />\[<br />2x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m - 2 = 0<br />\]<br /><br />Đây là một phương trình bậc hai với biến \( x \). Để có nghiệm thực, discriminant phải không âm:<br /><br />\[<br />\Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (4m^2 - 2m - 2) \geq 0<br />\]<br /><br />\[<br />16m^2 - 8(4m^2 - 2m - 2) \geq 0<br />\]<br /><br />\[<br />16m^2 - 32m^2 + 16m + 16 \geq 0<br />\]<br /><br />\[<br />-16m^2 + 16m + 16 \geq 0<br />\]<br /><br />\[<br />16(1 - m)(m + 1) \geq 0<br />\]<br /><br />Giải bất phương trình này, ta được:<br /><br />\[<br />-1 \leq m \leq 1<br />\]<br /><br />Bây giờ, ta tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \). Thay \( y = 2m - x \) vào \( P \):<br /><br />\[<br />P = x(2m - x) - 3(x + 2m - x)<br />\]<br /><br />\[<br />P = 2mx - x^2 - 6m<br />\]<br /><br />Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số này. Đặt đạo hàm theo \( x \) bằng 0:<br /><br />\[<br />\frac{dP}{dx} = 2m - 2x = 0<br />\]<br /><br />\[<br />x = m<br />\]<br /><br />Thay \( x = m \) vào \( y = 2m - x \):<br /><br />\[<br />y = 2m - m = m<br />\]<br /><br />Vậy cặp số \((x_0, y_0) = (m, m)\). Thay vào \( P \):<br /><br />\[<br />P = m \cdot m - 3(m + m) = m^2 - 6m<br />\]<br /><br />Hàm số \( P = m^2 - 6m \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( m = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \). Tuy nhiên, \( m \) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, ta kiểm tra các đầu mút của khoảng này:<br /><br />- Khi \( m = -1 \):<br /><br />\[<br />P = (-1)^2 - 6(-1) = 1 + 6 = 7<br />\]<br /><br />- Khi \( m = 1 \):<br /><br />\[<br />P = 1^2 - 6(1) = 1 - 6 = -5<br />\]<br /><br />Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \(-5\) khi \( m = 1\).<br /><br />**Câu trả lời:** \( m = 1 \)