Câu 81: Giải phương trình vi phân y''-y=2e^x-x^2

Phương trình vi phân là $y'' - y = 2e^x - x^2$.<br /><br />Đây là phương trình vi phân không thuần nhất. Để giải, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất $y'' - y = 0$ và một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.<br /><br />**1. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:**<br /><br />Phương trình đặc trưng là $r^2 - 1 = 0$, có nghiệm $r = \pm 1$. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là $y_h = c_1e^x + c_2e^{-x}$, với $c_1, c_2$ là các hằng số.<br /><br />**2. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:**<br /><br />Vì vế phải là $2e^x - x^2$, ta tìm nghiệm riêng dạng $y_p = Ae^x + Bx^2 + Cx + D$.<br /><br />Tính đạo hàm:<br />$y_p' = Ae^x + 2Bx + C$<br />$y_p'' = Ae^x + 2B$<br /><br />Thay vào phương trình ban đầu:<br />$(Ae^x + 2B) - (Ae^x + Bx^2 + Cx + D) = 2e^x - x^2$<br />$2B - Bx^2 - Cx - D = 2e^x - x^2$<br /><br />So sánh hệ số, ta được:<br />$-B = -1 \implies B = 1$<br />$-C = 0 \implies C = 0$<br />$2B - D = 0 \implies D = 2$<br />Không có hệ số cho $e^x$ ở vế trái, nên có vấn đề. Ta cần sửa lại nghiệm riêng. Vì $e^x$ là nghiệm của phương trình thuần nhất, ta phải nhân thêm $x$:<br /><br />$y_p = Axe^x + Bx^2 + Cx + D$<br /><br />$y_p' = Axe^x + Ae^x + 2Bx + C$<br />$y_p'' = Axe^x + 2Ae^x + 2B$<br /><br />Thay vào phương trình:<br />$(Axe^x + 2Ae^x + 2B) - (Axe^x + Bx^2 + Cx + D) = 2e^x - x^2$<br />$2Ae^x + 2B - Bx^2 - Cx - D = 2e^x - x^2$<br /><br />So sánh hệ số:<br />$2A = 2 \implies A = 1$<br />$-B = -1 \implies B = 1$<br />$-C = 0 \implies C = 0$<br />$2B - D = 0 \implies D = 2$<br /><br />Vậy nghiệm riêng là $y_p = xe^x + x^2 + 2$.<br /><br />**3. Nghiệm tổng quát:**<br /><br />Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng:<br /><br />$y = y_h + y_p = c_1e^x + c_2e^{-x} + xe^x + x^2 + 2$<br /><br /><br />Do đó, đáp án đúng là $y = c_1e^x + c_2e^{-x} + xe^x + x^2 + 2$<br />