Trung tâm luyện thi và BDKT Đǎng Khoa 155 Xuân Đỉnh, Bắc Từ Liêm, Hà Nội. Biên soạn: Nguyễn Đình Hoàn_0901.393.898 Câu 21: Cho 2 số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+y+1=2(sqrt (x-2)+sqrt (y+3)) Giá trị lớn nhất của biểu thức S=3^x+y-4+(x+y+1)2^7-x-y-3(x^2+y^2) là (a)/(b) với a, b là các số nguyên dương và (a)/(b) tối

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( S \) dưới điều kiện cho trước. Đầu tiên, chúng ta sẽ phân tích và biến đổi biểu thức đã cho.<br /><br />1. Điều kiện cho trước:<br />\[ x + y + 1 = 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) \]<br /><br />2. Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất:<br />\[ S = 3^{x+y-4} + (x+y+1)2^{7-x-y} - 3(x^2 + y^2) \]<br /><br />Chúng ta sẽ thử tìm cách biến đổi biểu thức \( S \) để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất.<br /><br />### Bước 1: Điều kiện và biến đổi<br /><br />Từ điều kiện \( x + y + 1 = 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) \), ta có:<br />\[ x + y + 1 \geq 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) \]<br /><br />Giả sử \( x \geq 2 \) và \( y \geq -3 \) để đảm bảo căn bậc hai tồn tại.<br /><br />### Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( S \)<br /><br />Chúng ta sẽ thử thay thế \( x + y + 1 \) vào biểu thức \( S \):<br /><br />\[ S = 3^{x+y-4} + (x+y+1)2^{7-x-y} - 3(x^2 + y^2) \]<br /><br />Thay \( x + y + 1 = 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) \) vào \( S \):<br /><br />\[ S = 3^{2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) - 4} + 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) \cdot 2^{7 - 2(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3})} - 3(x^2 + y^2) \]<br /><br />### Bước 3: Tối giản biểu thức<br /><br />Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cần kiểm tra các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. <br /><br />Giả sử \( x = 2 \) và \( y = -3 \) (đây là giá trị trung bình có thể đạt được):<br /><br />\[ x + y + 1 = 2(\sqrt{2 - 2} + \sqrt{-3 + 3}) = 2(0 + 0) = 0 \]<br /><br />Thay vào \( S \):<br /><br />\[ S = 3^{0 - 4} + 0 \cdot 2^{7 - 0} - 3(2^2 + (-3)^2) \]<br />\[ S = 3^{-4} + 0 - 3(4 + 9) \]<br />\[ S = \frac{1}{81} - 3 \cdot 13 \]<br />\[ S = \frac{1}{81} - 39 \]<br /><br />Vậy giá trị lớn nhất của \( S \) là:<br /><br />\[ \frac{1}{81} - 39 = \frac{1 - 3132}{81} = \frac{-3131}{81} \]<br /><br />Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức \( S \) là \(\frac{-3131}{81}\).<br /><br />### Kết luận<br /><br />Giá trị lớn nhất của biểu thức \( S \) là \(\frac{-3131}{81}\).