Câu 44. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=tan^2x và F((pi )/(4))=1 . Tính F(-(pi )/(4)) A F(-(pi )/(4))=(pi )/(4)-1 B. F(-(pi )/(4))=(pi )/(2)-1 (1)/(sin^2)x-1 F(-(pi )/(4))=(pi )/(2)+1 Câu 45. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(1+sinx)^2 biết F((pi )/(2))=(3pi )/(4)

**Câu 44.**<br /><br />Để tìm \( F(x) \), ta nguyên hàm của \( f(x) = \tan^2).<br /><br />Ta biết rằng:<br />\[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \]<br /><br />Vậy:<br />\[ f(x) = \sec^2 x - 1 \]<br /><br />Nguyên hàm của \( \sec^2 x \) là \( \tan x \), và nguyên hàm của \(-1\) là \(-x\). Do đó:<br />\[ F(x)tan x - x + C \]<br /><br />Áp dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \):<br />\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4} + C = 1 \]<br />\[ 1 - \frac{\pi}{4} + C = 1 \]<br />\[ C = \pi}{4} \]<br /><br />Vậy:<br />\[ F(x) = \tan x - x + \frac{\pi}{4} \]<br /><br />Bây giờ, tính \( F\left(-\frac{\pi}{4}\right) \):<br />\[ F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}1 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \]<br />\[ = -1 + \frac{\pi}{2} \]<br /><br />Do đó:<br />\[ F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 1 \]<br /><br />**Câu trả lời:** B. \( F\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 1 \)<br /><br />**Câu 45.**<br /><br />Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = (1 + \sin x)^2 \), ta cần tính tích phân không định của hàm số này.<br /><br />\[ f(x) = (1 + \sin x)^2 \]<br />\[ = 1 + 2\sin x + \sin^2 x \]<br /><br />Tích:<br />\[ \int 1 \, dx = x \]<br />\[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x \]<br />\[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int - \cos(2x)) \, dx \]<br />\[ = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) \]<br />\[ = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin(2x) \]<br /><br />Vậy:<br />\[ F(x) = x - 2\cos x + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin + C \]<br />\[ = \frac{3}{2} x - 2\cos x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]<br /><br />Áp dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} \):<br />\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{4} \sin\left(\pi\right) + C = \frac{3\pi}{4} \]<br />\[ \frac{3\pi}{4} - 2 \cdot 0 - 0 + C = \frac{3}{4} \]<br />\[ C = 0 \]<br /><br />Vậy:<br />\[ F(x) = \frac{3}{2} xcos x - \frac{1}{4} \sin(2x) \]<br /><br />**Câu trả lời:** \( F(x) = \frac{3}{2} x - 2\cos x - \frac{1}{4} \sin(2x) \)