Câu 5 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với E(X)=Theta gt 0 . Khi đó, E(X^4) bằng 120/Theta ^4 120Theta ^4 24Theta ^4 14/Theta ^4

Để tìm \( E(X^4) \) cho biến ngẫu nhiên \( X \) có phân phối mũ với \( E(X) = \Theta > 0 \), ta cần sử dụng tính chất của phân phối mũ và kỳ vọng.<br /><br />Phân phối mũ có hàm mật độ xác suất là:<br />\[ f(x; \Theta) = \Theta e^{-\Theta x} \quad \text{với} \quad x \geq 0 \]<br /><br />Kỳ vọng của \( X \) là:<br />\[ E(X) = \Theta = \frac{1}{\Theta} \]<br /><br />Chúng ta cần tính \( E(X^4) \):<br />\[ E(X^4) = \int_0^\infty x^4 \Theta e^{-\Theta x} \, dx \]<br /><br />Để giải quyết tích phân này, ta sử dụng phương pháp phần phần:<br />\[ \int x^n e^{-ax} \, dx = \frac{n-1}{a^{n+1}} + \frac{n(n-1)}{a^{n+2}} + \cdots \]<br /><br />Áp dụng cho \( E(X^4) \):<br />\[ E(X^4) = \Theta \int_0^\infty x^4 e^{-\Theta x} \, dx \]<br /><br />Sử dụng công thức phần phần với \( a = \Theta \) và \( n = 4 \):<br />\[ \int x^4 e^{-\Theta x} \, dx = \frac{4!}{\Theta^5} + \frac{5 \cdot 4!}{\Theta^6} + \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{\Theta^7} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{\Theta^8} \]<br /><br />Tính toán các hạng tử:<br />\[ \int x^4 e^{-\Theta x} \, dx = \frac{24}{\Theta^5} - \frac{120}{\Theta^6} + \frac{720}{\Theta^7} - \frac{5040}{\Theta^8} + \cdots \]<br /><br />Chọn các hạng tử đầu tiên:<br />\[ \int x^4 e^{-\Theta x} \, dx \approx \frac{24}{\Theta^5} \]<br /><br />Vậy:<br />\[ E(X^4) = \Theta \cdot \frac{24}{\Theta^5} = \frac{24}{\Theta^4} \]<br /><br />Do đó, đáp án đúng là:<br />\[ \boxed{\frac{24}{\Theta^4}} \]<br /><br />Trong các lựa chọn đưa ra, đáp án này tương ứng với:<br />\[ 24\Theta^4 \]