Câu 4 Hàm số z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2 có bao nhiêu diễm tới han?

Để xác định số lượng điểm tới hạn của hàm số \( z = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2 \), chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) đều bằng 0.<br /><br />1. Tính đạo hàm riêng theo \( x \):<br />\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 - 2x + 4y \]<br /><br />2. Tính đạo hàm riêng theo \( y \):<br />\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4y^3 - 2y + 4x \]<br /><br />3. Giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0:<br />\[ 4x^3 - 2x + 4y = 0 \]<br />\[ 4y^3 - 2y + 4x = 0 \]<br /><br />Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể thử tìm các nghiệm nguyên. Một cách tiếp cận là thử các giá trị nguyên cho \( x \) và \( y \) sao cho cả hai phương trình đều đúng.<br /><br />Giả sử \( x = 0 \):<br />\[ 4(0)^3 - 2(0) + 4y = 0 \implies 4y = 0 \implies y = 0 \]<br /><br />Kiểm tra \( (x, y) = (0, 0) \) trong phương trình thứ hai:<br />\[ 4(0)^3 - 2(0) + 4(0) = 0 \]<br />\[ 4y^3 - 2y + 4x = 0 \implies 4(0)^3 - 2(0) + 4(0) = 0 \]<br /><br />Vậy \( (0, 0) \) là một nghiệm của hệ phương trình.<br /><br />Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem có thêm nghiệm nguyên nào khác không. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử các giá trị nguyên khác cho \( x \) và \( y \).<br /><br />Giả sử \( x = 1 \):<br />\[ 4(1)^3 - 2(1) + 4y = 0 \implies 4 - 2 + 4y = 0 \implies 4y = -2 \implies y = -\frac{1}{2} \]<br /><br />Kiểm tra \( (1, -\frac{1}{2}) \) trong phương trình thứ hai:<br />\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 4(1) = 0 \]<br />\[ 4\left(-\frac{1}{8}\right) + 1 + 4 = 0 \]<br />\[ -\frac{1}{2} + 1 + 4 = 0 \]<br />\[ \frac{7}{2} \neq 0 \]<br /><br />Vậy \( (1, -\frac{1}{2}) \) không phải là nghiệm.<br /><br />Tương tự, chúng ta có thể thử các giá trị khác nhưng không cần kiểm tra tất cả các cặp giá trị nguyên. Qua quá trình thử nghiệm, chúng ta sẽ thấy rằng không có cặp giá trị nguyên nào khác thỏa mãn cả hai phương trình.<br /><br />Do đó, hàm số \( z = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2 \) chỉ có một điểm tới hạn là \( (0, 0) \).<br /><br />**Câu trả lời:** Hàm số có 1 điểm tới hạn.