Bài 1.3 (ĐH Đồng Tháp). Dễ dàng chứng minh u_(n)in(0,1) với mọi n bằng quy nạp. Ta có u_(n) > 0 và (u_(n+1))/(u_(n))=1-u_(n)^(2) < 1 nên (u_(n)) là dây đơn điệu giảm và bị chăn dưởi bời 0 . Do đó, (u_(n)) có giới hạn hữu hạn. Chuyển hệ thức truy hối sang giới hạn, ta tim được lim_(n rarr oo)u_(n)=0 . Ta có (1)/(u_(n+1)^(2))-(1)/(u_(n)^(2))=(1-(1-u_(n)^(2))^(2))/(u_(n)^(2)(1-u_(n)^(2))^(2))=(2-u_(n)^(2))/((1-u_(n)^(2))^(2)) . Suy ra lim_(n rarr oo)((1)/(u_(n+1)^(2))-(1)/(u_(n)^(2)))=lim_(n rarr oo)(2-u_(n)^(2))/((1-u_(n)^(2))^(2))=2". " Áp dụng Định lí Stolz với hai dãy (x_(n)) và (y_(n)) xác định bời x_(n)=(1)/(u_(n)^(2)) , y_(n)=n , ta được lim_(n rarr oo)(x_(n))/(y_(n))=lim_(n rarr oo)(1)/(nu_(n)^(2))=2 . Suy ra lim_(n rarr oo)sqrtnu_(n)=(1)/(sqrt2)