Câu 3 (2.5 điểm) (L 2) Giải phương trình vi phân: y''+y'-6y=e^x(-4x^2-2x-4)

Để giải phương trình vi phân \( y'' + y' - 6y = e^x(-4x^2 - 2x - 4) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:<br /><br />1. **Phân rã phương trình đặc trưng:**<br /><br /> Phương trình đặc trưng là:<br /> \[<br /> r^2 + r - 6 = 0<br /> \]<br /> Giải phương trình bậc hai này, ta được:<br /> \[<br /> r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}<br /> \]<br /> Vậy, nghiệm của phương trình đặc trưng là:<br /> \[<br /> r_1 = 2 \quad \text{và} \quad r_2 = -3<br /> \]<br /><br />2. **Tìm nghiệm riêng phần tử không đồng nhất:**<br /><br /> Giả sử nghiệm riêng có dạng:<br /> \[<br /> y_p = (Ax^2 + Bx + C)e^x<br /> \]<br /> Đạo hàm của \( y_p \) là:<br /> \[<br /> y_p' = (Ax^2 + Bx + C)e^x + (2Ax + B)e^x<br /> \]<br /> Đạo hàm bậc hai của \( y_p \) là:<br /> \[<br /> y_p'' = (Ax^2 + Bx + C)e^x + 2(2Ax + B)e^x + 2e^x<br /> \]<br /><br /> Thay \( y_p \), \( y_p' \), và \( y_p'' \) vào phương trình vi phân, ta có:<br /> \[<br /> (Ax^2 + Bx + C)e^x + 2(2Ax + B)e^x + 2e^x + (Ax^2 + Bx + C)e^x + (2Ax + B)e^x - 6(Ax^2 + Bx + C)e^x = e^x(-4x^2 - 2x - 4)<br /> \]<br /><br /> Rút gọn và sắp xếp lại, ta được:<br /> \[<br /> (A - 6A)x^2 e^x + (B - 2B)x e^x + (C + 2A - 6C)e^x = -4x^2 e^x - 2x e^x - 4e^x<br /> \]<br /><br /> So sánh hệ số, ta có:<br /> \[<br /> A - 6A = -4 \implies -5A = -4 \implies A = \frac{4}{5}<br /> \]<br /> \[<br /> B - 2B = -2 \implies -B = -2 \implies B = 2<br /> \]<br /> \[<br /> C + 2A - 6C = -4 \implies C - 6C + \frac{8}{5} = -4 \implies -5C + \frac{8}{5} = -4 \implies -5C = -\frac{28}{5} \implies C = \frac{28}{25}<br /> \]<br /><br /> Vậy, nghiệm riêng là:<br /> \[<br /> y_p = \left(\frac{4}{5}x^2 + 2x + \frac{28}{25}\right)e^x<br /> \]<br /><br /> **Tổng hợp nghiệm:**<br /><br /> Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:<br /> \[<br /> y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} + \left(\frac{4}{5}x^2 + 2x + \frac{28}{25}\right)e^x<br /> \]<br /><br /> Với \( C_1 \) và \( C_2 \) là các hằng số tùy ý.