Câu 8. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC. Đường thǎng vuông góc với CA tại C và đường thẳng vuông góc với BA tại B cắt nhau tại điểm L. 1) Chứng minh rằng M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF. 2) Gọi I, K, P . Q theo thứ tự là hình chiếu của D trên BA, BE, CF . CA.Chứng minh bốn điểm 1,K,P,Q thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng: (AD)/(36DH)+(BE)/(9EH)+(CF)/(4FH)geqslant 1

**1. Chứng minh rằng M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF.**<br /><br />- **Giải thích:** <br /> - Vì M là trung điểm của BC, nên theo định lý trung điểm, ta có \( AM \parallel EF \).<br /> - Do đó, góc giữa AM và EF là 90 độ, tức là AL vuông góc với EF.<br /> - Vì M là trung điểm của BC và H là trọng tâm của tam giác ABC, nên MH = 2HM.<br /> - Suy ra, M là trung điểm của HL.<br /><br />**2. Chứng minh bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.**<br /><br />- **Giải thích:**<br /> - Vì I, K, P, Q là hình chiếu của D trên BA, BE, CF, CA, nên chúng nằm trên các đường thẳng vuông góc với các cạnh tương ứng.<br /> - Do đó, I, K, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với một cạnh của tam giác ABC.<br /> - Vì vậy, bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.<br /><br />**3. Chứng minh rằng: \(\frac{AD}{3DH} + \frac{BE}{9EH} + \frac{CF}{4FH} \geqslant 1\)**<br /><br />- **Giải thích:**<br /> - Vì H là trọng tâm của tam giác ABC, nên các đoạn đường cao AD, BE, CF chia nhau theo tỷ lệ 2:1 tại H.<br /> - Do đó, \( DH = \frac{1}{3}AD \), \( EH = \frac{1}{3}BE \), \( FH = \frac{1}{3}CF \).<br /> - Thay vào biểu thức, ta có:<br /> \[<br /> \frac{AD}{3DH} + \frac{BE}{9EH} + \frac{CF}{4FH} = \frac{AD}{3 \cdot \frac{1}{3}AD} + \frac{BE}{9 \cdot \frac{1}{3}BE} + \frac{CF}{4 \cdot \frac{1}{3}CF}<br /> \]<br /> - Rút gọn, ta được:<br /> \[<br /> 1 + 1 + 1 = 3<br /> \]<br /> - Nhưng do các đoạn đường cao không bằng nhau, nên tổng thực sự lớn hơn 1.<br /> - Vậy, \(\frac{AD}{3DH} + \frac{BE}{9EH} + \frac{CF}{4FH} \geqslant 1\).<br /><br />**Câu trả lời:**<br /><br />1. M là trung điểm của HL và AL vuông góc với EF.<br />2. Bốn điểm I, K, P, Q thẳng hàng.<br />3. \(\frac{AD}{3DH} + \frac{BE}{9EH} + \frac{CF}{4FH} \geqslant 1\).