Câu 4. Trong không gian Oxyz , biết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D, biết rằng: A(-3;0;0) B(0;0;8), C(0;-9;0) và D(0;0;0) có dạng x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0 . Tính (a^2+b^2+c^2+d^2)

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, với tâm $I(a, b, c)$ và bán kính R.<br /><br />Vì mặt cầu đi qua gốc tọa độ D(0,0,0), ta có $a^2 + b^2 + c^2 = R^2$.<br /><br />Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình mặt cầu, ta được hệ phương trình:<br /><br />$(-3-a)^2 + (-b)^2 + (-c)^2 = R^2$<br />$(-a)^2 + (-b)^2 + (8-c)^2 = R^2$<br />$(-a)^2 + (-9-b)^2 + (-c)^2 = R^2$<br /><br />Từ đó, ta có:<br /><br />$(-3-a)^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (8-c)^2$<br />$(-3-a)^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (9+b)^2 + c^2$<br /><br />Giải hệ phương trình trên, ta tìm được a = 3/2, b = 9/2, c = -4.<br /><br />$R^2 = a^2 + b^2 + c^2 = (3/2)^2 + (9/2)^2 + (-4)^2 = 9/4 + 81/4 + 16 = 121/4$<br /><br />Phương trình mặt cầu là: $(x - 3/2)^2 + (y - 9/2)^2 + (z + 4)^2 = 121/4$<br /><br />So sánh với phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$, ta có:<br /><br />$2a = 3$, $2b = 9$, $2c = -8$, $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2 = 0$<br /><br />Vậy $a = 3/2$, $b = 9/2$, $c = -4$, $d = 0$.<br /><br />$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (3/2)^2 + (9/2)^2 + (-4)^2 + 0^2 = 9/4 + 81/4 + 16 = 121/4 = 30.25$<br /><br />Đáp án đúng là 30.25.<br />