7.2.Hai phần tử a,b của một nguyên D được gọi là liên kết, ký hiệu asim b nếu aD=bD : tức là avert b và bvert a . Trong miền nguyên Z_(5)[x] , hãy chỉ ra tất cả các đa thức liên kết với đa thức f=4+overline (3)x+overline (3)x^2+x^4in Z_(5)[x]

Để tìm tất cả các đa thức liên kết với đa thức \( f = 4 + 3x + 3x^2 + x^4 \) trong miền nguyên \( \mathbb{Z}_5[x] \), ta cần xác định tất cả các đa thức \( g(x) \) sao cho \( f \sim g(x) \). Điều này có nghĩa là \( f \) và \( g(x) \) phải có cùng bậc và các hệ số của chúng phải tương đương nhau modulo 5.<br /><br />Đa thức \( f \) có dạng:<br />\[ f(x) = 4 + 3x + 3x^2 + x^4 \]<br /><br />Chúng ta cần tìm các đa thức \( g(x) \) dạng:<br />\[ g(x) = a + bx + cx^2 + dx^4 \]<br /><br />với \( a, b, c, d \in \mathbb{Z}_5 \) sao cho \( f \sim g(x) \). Điều này tương đương với việc tìm các \( a, b, c, d \) sao cho:<br />\[ 4 \equiv a \pmod{5} \]<br />\[ 3 \equiv b \pmod{5} \]<br />\[ 3 \equiv c \pmod{5} \]<br />\[ 1 \equiv d \pmod{5} \]<br /><br />Do đó, các giá trị có thể của \( a, b, c, d \) lần lượt là:<br />\[ a \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \]<br />\[ b \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \]<br />\[ c \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \]<br />\[ d \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \]<br /><br />Tuy nhiên, chúng ta cần đảm bảo rằng các hệ số tương ứng của \( f \) và \( g(x) \) phải bằng nhau modulo 5. Vì vậy, ta chỉ cần xem xét các trường hợp khi \( a, b, c, d \) lần lượt bằng 4, 3, 3, 1:<br /><br />\[ g(x) = 4 + 3x + 3x^2 + x^4 \]<br /><br />Như vậy, đa thức \( g(x) \) chính là đa thức \( f \) itself. Do đó, trong miền nguyên \( \mathbb{Z}_5[x] \), chỉ có một đa thức liên kết với \( f \), đó là \( f \) itself.<br /><br />Vậy, các đa thức liên kết với \( f = 4 + 3x + 3x^2 + x^4 \) là:<br />\[ \boxed{4 + 3x + 3x^2 + x^4} \]