Bài 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình x^2+(m-3)x-(m^2+2)=0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Xác định m để hai nghiệm x_(1),x_(2) của phương trình thỏa hệ thức x_(1)^2+x_(2)^2=10

Để chứng minh phương trình \(x^2 + (m-3)x - (m^2 + 2) = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\), ta cần tính delta (\(\Delta\)) của phương trình:<br /><br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac<br />\]<br /><br />Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = m-3\), và \(c = -(m^2 + 2)\). Thay các giá trị này vào công thức delta:<br /><br />\[<br />\Delta = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(m^2 + 2))<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = (m-3)^2 + 4(m^2 + 2)<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = m^2 - 6m + 9 + 4m^2 + 8<br />\]<br /><br />\[<br />\Delta = 5m^2 - 6m + 17<br />\]<br /><br />Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta\) phải lớn hơn 0:<br /><br />\[<br />5m^2 - 6m + 17 > 0<br />\]<br /><br />Xét hàm số \(f(m) = 5m^2 - 6m + 17\). Đây là một parabol mở lên trên vì hệ số của \(m^2\) là dương. Ta cần kiểm tra xem đỉnh của parabol có nằm trên trục hoành hay không. Đỉnh của parabol có tọa độ:<br /><br />\[<br />m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}<br />\]<br /><br />Thay \(m = \frac{3}{5}\) vào \(f(m)\):<br /><br />\[<br />f\left(\frac{3}{5}\right) = 5\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{5}\right) + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= 5 \cdot \frac{9}{25} - 6 \cdot \frac{3}{5} + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{45}{25} - \frac{18}{5} + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{45}{25} - \frac{90}{25} + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{45 - 90}{25} + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{-45}{25} + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= -1.8 + 17<br />\]<br /><br />\[<br />= 15.2<br />\]<br /><br />Vì \(f(m) > 0\) với mọi \(m\), nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.<br /><br />Tiếp theo, xác định \(m\) để hai nghiệm \(x_1, x_2\) của phương trình thỏa hệ thức \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).<br /><br />Sử dụng công thức Viète:<br /><br />\[<br />x_1 + x_2 = -(m-3)<br />\]<br /><br />\[<br />x_1 x_2 = -(m^2 + 2)<br />\]<br /><br />Ta có:<br /><br />\[<br />x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2<br />\]<br /><br />Thay vào hệ thức cần tìm:<br /><br />\[<br />(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 10<br />\]<br /><br />\[<br />(-(m-3))^2 - 2(-(m^2 + 2)) = 10<br />\]<br /><br />\[<br />(m-3)^2 + 2(m^2 + 2) = 10<br />\]<br /><br />\[<br />m^2 - 6m + 9 + 2m^2 + 4 = 10<br />\]<br /><br />\[<br />3m^2 - 6m + 13 = 10<br />\]<br /><br />\[<br />3m^2 - 6m + 3 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />m^2 - 2m + 1 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />(m-1)^2 = 0<br />\]<br /><br />\[<br />m = 1<br />\]<br /><br />Vậy, \(m = 1\) là giá trị cần tìm để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).