Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mathrm(Delta ):(x)/(1)=(y)/(-1)=(z)/(-3) và mặt phẳng (P):2x-z+1=0. Mặt phẳng (alpha ):ax+5y+bz+c=0 chứa mathrm(Delta ) và tạo với mặt phẳng (P) một góc 45°. Khi đó a+b+c bằng A. [a+b+c=4]. B. [a+b+c=13]. C. [a+b+c=12]. D. [a+b+c=9].

D. \[a+b+c=9\]<br /><br />Giải thích:<br /><br />Trước hết ta thấy đường thẳng $\Delta$ chứa điểm $O$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;-3\right)$.<br />Mặt phẳng $\left(P\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{P}=\left(2;0;-1\right)$.<br />Còn mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì có véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left(a;5;b\right)$.<br /><br />Do mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa đường thẳng $\Delta$, suy ra $c=0$ và $\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{n}}_{\alpha }=0$, từ đó ta suy ra $a=5+3b$ (Công thức 1).<br /><br />Tiếp theo, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tạo với mặt phẳng $\left(P\right)$ một góc $45°$, từ đó ta suy ra $\mathrm{cos45}°=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\cdot {\overrightarrow{n}}_{P}\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_{P}\right|}$ tức là $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+25}}$. Do đó ta có $5\left({a}^{2}+{b}^{2}+25\right)=2{\left(2a-b\right)}^{2}$ (Công thức 2).<br /><br />Kết hợp Công thức 1 và Công thức 2, ta tìm được $b=1$ và từ đó suy ra $a=8$.<br /><br />Vậy kết quả cuối cùng là:<br />\[a+b+c=9\].