Biết đáy của một khối đặc là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=sin(x) y=4-sqrt (x),x=2 và x=7. Thiết diện vuông góc với trục Ox của khối đặc này là những hình chữ nhật có chiều cao là 2x. Tích phân nào dưới đây tính thể tích của khối đặc này?

Để tính thể tích của khối đặc, chúng ta cần tính tích phân của diện tích mặt cắt ngang theo chiều cao của khối. Trong trường hợp này, chiều cao của mỗi hình chữ nhật làx\).<br /><br />Đầu tiên, chúng ta cần tìm phương trình của đường biên trên mặt cắt ngang. Các đường biên được cho là \(y = \sin(x)\) và \(y = 4 - \sqrt{x}\). Chúng ta cần tìm điểm giao nhau của hai đường này để xác định giới hạn tích phân.<br /><br />Đặt \(\sin(x) = 4 - \sqrt{x}\):<br /><br />\[<br />\sin(x) + \sqrt{x} = 4<br />\]<br /><br />Giải phương trình này để tìm giá trị của \(x\). Để làm điều này, chúng ta có thể thử các giá trị cụ thể hoặc sử dụng phương pháp số. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng \(x\) nằm trong khoảng từ 2 đến 7.<br /><br />Tiếp theo, chúng ta tính diện tích giữa hai đường biên trong khoảng \(x\) từ 27. Di này sẽ là:<br /><br />\[<br />A(x) = \int_{a}^{b} (\text{đường trên} - \text{đường dưới}) \, dx<br />\]<br /><br />Trong trường hợp này:<br /><br />\[<br />A(x) = \int_{2}^{7} (4 - \sqrt{x} - \sin(x)) \, dx<br />\]<br /><br />Sau đó, chúng ta tích phân diện tích này theo chiều cao \(2x\):<br /><br />\[<br />V = \int_{2}^{7} A(x) \cdot 2x \, dx = \int_{2}^{7} \left( \int_{2}^{7} (4 - \sqrt{x} - \sin(x)) \, dx \right) \cdot 2x \, dx<br />\]<br /><br />Điều này tương đương với:<br /><br />\[<br />V = 2 \int_{2}^{ x (4 - \sqrt{x} - \sin(x)) \, dx<br />\]<br /><br />Cuối cùng, chúng ta thực hiện tích phân:<br /><br />\[<br />V = 2 \int_{2}^{7} (4x - x^{1/2} - x \sin(x)) \, dx<br />\]<br /><br />Chúng ta có thể phân tách tích phân này thành ba phần:<br /><br />\[<br />V = 2 \left( \int}^{7} 4x \, dx - \int_{2}^{7} x^{1/2} \, dx - \int_{2}^{7} x \sin(x) \, dx \right)<br />\]<br /><br />Tính từng phần:<br /><br />1. \(\int_{2}^{7} 4x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{27} = 4 \left( \frac{49}{2} - \frac{4}{2} \right) = 4 \cdot \frac{45}{2} = 90\)<br /><br />2. \(\int_{2}^{7} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{2}^{7} = \2}{3} \left( 7^{3/2} - 2^{3/2} \right) = \frac{2}{3} \left( 18.5206 - 2.8284 \right) = \frac{2}{3} \cdot 15.6922 = 10.4575\)<br /><br />3. \(\int_{2}^{7} x \) \, dx\) sử dụng phần phần phối:<br /><br /> Đặt \(u = x\) và \(dv = \sin(x) \, dx\), thì \(du = dx\) và \(v = -\cos(x)\).<br /><br /> \[<br /> \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C<br />]<br /><br /> Tính từ 2 đến 7:<br /><br /> \[<br /> \left[ -x \cos(x) + \sin(x) \right]_{2}^{7} = (-7 \cos(7) + \sin(7)) - (-2 \cos(2) + \sin(2)) = -7 \cos(7) + \sin(7) + 2 \cos(2) - \sin(2)<br /> \]<br /><br />Kết hợp lại:<br /><br />\[<br />V = 2 \left( 90 - 10.4575 - (-7 \cos(7) + \sin(7) + 2 \cos(2) - \sin(2)) \right)<br />\