Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) và có diện tích bằng (27sqrt(3))/(4) (đvdt). Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy (ABCD) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V của phần chứa điểm S. A. V=8. B. V=24. C. V=36. D. V=12.

D<br/><img src="https://static.questionai.vn/resource/qaiseoimg/202502/si-ii-iimgaqnipiiadhbc-tQajIQeqrH0E.jpg" alt=" S I I I I I m G! a Q N I P I I A. D H B C "><br><br>Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Do $\Delta SAB$ đều và $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$ nên $SH\perp \left(ABCD\right)$.<br>Ta có ${S}_{\Delta SAB}=\frac{A{B}^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$$\Rightarrow AB=3\sqrt{3}$$\Rightarrow SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$<br>$\Rightarrow {V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.{S}_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.A{B}^{2}.SH=\frac{1}{3}{\left(3\sqrt{3}\right)}^{2}.\frac{9}{2}=\frac{81}{2}$ (đvtt).<br>Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $SA$ và $SB$ lần lượt tại $M$, $N$. Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SC$ tại $P$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $SD$ tại $Q$. Suy ra $\left(MNPQ\right)$ là mặt phẳng đi qua $G$ và song song với $\left(ABCD\right)$.<br>Khi đó $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SD}=\frac{SG}{SH}=\frac{2}{3}$.<br>Có $\frac{{V}_{S.MNP}}{{V}_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3}=\frac{8}{27}$$\Rightarrow {V}_{S.MNP}=\frac{8}{27}{V}_{S.ABC}=\frac{8}{27}.\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{4}{27}{V}_{S.ABCD}$.<br>Có $\frac{{V}_{S.MPQ}}{{V}_{S.ACD}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SP}{SC}.\frac{SQ}{SD}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3}=\frac{8}{27}$$\Rightarrow {V}_{S.MPQ}=\frac{8}{27}{V}_{S.ACD}=\frac{8}{27}.\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{4}{27}{V}_{S.ABCD}$.<br>Vậy ${V}_{S.MNPQ}={V}_{S.MNP}+{V}_{S.MPQ}=\frac{4}{27}{V}_{S.ABCD}+\frac{4}{27}{V}_{S.ABCD}=\frac{8}{27}{V}_{S.ABCD}=\frac{8}{27}.\frac{81}{2}=12$ (đvtt).