8 int _(0)^pi /4(dx)/(1+cosx)

Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép thay thế trigonometric. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng công thức:<br /><br />\[<br />\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \int \frac{dx}{2 \cos^2(x/2)}<br />\]<br /><br />Bây giờ, chúng ta thực hiện phép thay thế \( t = \frac{x}{2} \), do đó \( dx = 2 dt \):<br /><br />\[<br />\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \int \frac{2 dt}{1 + \cos(2t)} = \int \frac{2 dt}{2 \cos^2(t)} = \int \frac{dt}{\cos^2(t)}<br />\]<br /><br />Chúng ta biết rằng[<br />\int \sec^2(t) dt = \tan(t) + C<br />\]<br /><br />Do đó:<br /><br />\[<br />\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C<br />\]<br /><br />Bây giờ, chúng ta áp dụng giới hạn tích phân từ 0 đến \(\frac{\pi}{4}\):<br /><br />\[<br />\left[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}<br />\]<br /><br />Đánh giá tại các điểm:<br /><br />\[<br />\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) - \tan(0) = \tan\left(\frac{\pi}{8}\right)<br />\]<br /><br />Vì \(\tan(0) = 0\). Do đó, kết quả cuối cùng là:<br /><br />\[<br />\boxed{\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)}<br />\]