Bài 4. Cho số nguyên n thoả mãn vert 6n^2-17n-39vert là luỹ thita với số mũ nguyên dương của một số nguyên tố. Chứng minh rằng số p=n^2+1 là số nguyên tố.

Ta có $|6n^2 - 17n - 39| = k^m$ với $k$ là số nguyên tố và $m$ là số nguyên dương.<br /><br />Phân tích $6n^2 - 17n - 39 = (2n-13)(3n+3) = 3(2n-13)(n+1)$.<br /><br />Vì $|6n^2 - 17n - 39| = k^m$, nên $3(2n-13)(n+1) = \pm k^m$.<br /><br />Nếu $m=1$, thì $3(2n-13)(n+1) = \pm k$. Vì $k$ là số nguyên tố, nên một trong ba thừa số $3$, $2n-13$, $n+1$ phải bằng $\pm 1$ hoặc $\pm k$.<br /><br />Nếu $n=1$, thì $6n^2 - 17n - 39 = -50$, $|6n^2 - 17n - 39| = 50 = 2 \cdot 5^2$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br />Nếu $n=2$, thì $6n^2 - 17n - 39 = -41$, $|6n^2 - 17n - 39| = 41$, là số nguyên tố. $n^2+1 = 5$, không phải số nguyên tố.<br />Nếu $n=6$, thì $6n^2 - 17n - 39 = 171 = 3^2 \cdot 19$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br />Nếu $n=7$, thì $6n^2 - 17n - 39 = 286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br />Nếu $n=13$, thì $6n^2 - 17n - 39 = 819 = 3^2 \cdot 7 \cdot 13$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br /><br />Xét trường hợp $3(2n-13)(n+1) = k^m$. Vì $k$ là số nguyên tố, nên $2n-13 = 1$, $n+1 = k^{m-1}$ hoặc $n+1 = 1$, $2n-13 = k^{m-1}$ hoặc $2n-13 = k^m/3$, $n+1 = 3$.<br /><br />Nếu $2n-13 = 1$, thì $n=7$. $3(2n-13)(n+1) = 3(1)(8) = 24$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br />Nếu $n+1 = 1$, thì $n=0$. $3(2n-13)(n+1) = -39$, $|3(2n-13)(n+1)| = 39$, không phải luỹ thừa của số nguyên tố.<br />Nếu $n+1 = 3$, thì $n=2$. $3(2n-13)(n+1) = 3(-9)(3) = -81$, $|-81| = 81 = 3^4$. $n^2+1 = 5$, là số nguyên tố.<br /><br />Vậy đáp án đúng là khi $|6n^2 - 17n - 39|$ là luỹ thừa của số nguyên tố thì $n^2+1$ là số nguyên tố. Tuy nhiên, cần chứng minh chặt chẽ hơn. Câu hỏi này cần thêm điều kiện để có thể giải quyết triệt để.<br />