Câu 19 (0.5đ): Cho hàm số y=(1)/(3)x^3+(m-1)x^2- 3x (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên tập xác định? Trả lời: square

Để xác định số giá trị nguyên của \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 - 3x \) đồng biến trên tập xác định, chúng ta cần thực hiện các bước sau:<br /><br />1. **Tính đạo hàm của hàm số:**<br /><br /> \[<br /> y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 - 3x\right)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> y' = x^2 + 2(m-1 3<br /> \]<br /><br />2. **Điều kiện đồng biến:**<br /><br /> Hàm số \( y \) đồng biến khi \( y' \geq 0 \). Do đó, chúng ta cần giải bất phương trình:<br /><br /> \[<br /> x^2 + 2(m-1)x - 3 \geq 0<br /> \]<br /><br />3. **Giải bất phương trình:**<br /><br /> Để giải bất phương trình trên, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình \( x^2 + 2(m-1)x - 3 = 0 \):<br /><br /> \[<br /> \Delta = [2(m-1)]cdot 1 \cdot (-3) = 4(m-1)^2 + 12<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \Delta = 4(m-1)^2 + 12 > 0<br /> \]<br /><br /> Vì \(\Delta > 0\) với mọi giá trị \( m \), phương trình \( x^2 + 2(m-1)x - 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt:<br /><br /> \[<br /> x_1, x_2 = \frac{-2(m-1) \pm \sqrt{4(m-1)^2 + 12}}{2}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> x_1, x_2 = - (m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2 + 3}<br /> \]<br /><br />4. **Xác định khoảng biến thiên:**<br /><br /> Dựa vào nghiệm của phương trình, chúng ta xác định các khoảng biến thiên của \( y' \). Hàm số \( y' \) sẽ thay đổi dấu tại các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \).<br /><br />5. **Tìm giá trị nguyên của \( m \):**<br /><br /> Để hàm số \( y \) đồng biến trên tập xác định, \( y' \) phải lớn hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ tập xác định. Điều này chỉ xảy ra khi \( m \) nằm trong một khoảng cụ thể sao cho \( y' \geq 0 \).<br /><br /> Tuy nhiên, do \( \Delta > 0 \) với mọi \( m \), chúng ta cần kiểm tra điều kiện \( y' \geq 0 \) trực tiếp:<br /><br /> \[<br /> x^2 + 2(m-1)x - 3 \geq 0<br /> \]<br /><br /> Điều này tương đương với:<br /><br /> \[<br /> (x + 3)(x - 1) \geq 0<br /> \]<br /><br /> Giải bất phương trình trên, ta được:<br /><br /> \[<br /> x \leq -3 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1<br /> \]<br /><br /> Do đó, \( m \) không ảnh hưởng đến điều kiện đồng biến của hàm số.<br /><br />Vậy, có vô số giá trị nguyên của \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + (m-1)x^2 - 3x \) đồng biến trên tập xác định.<br /><br />**Câu trả lời:** Có vô số giá trị nguyên của \( m \).