Hình vẽ bên thể hiện một phần đường thẳng (d) có phương trình y=2x-1 và một phần parabol (P) có phương trình y=3x^2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. (a) (2 điểm) Đường thẳng (d) và parabol (P) có cắt nhau không? Vì sao? (b) (4 điểm) Cho các điểm Min (P) và Nin (d) . Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách MN.

**(a)** Đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ có cắt nhau. <br /><br />**Giải thích:** Để kiểm tra xem $(d)$ và $(P)$ có cắt nhau hay không, ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình:<br /><br />$$\begin{cases}<br />y = 2x - 1 \\<br />y = 3x^2<br />\end{cases}$$<br /><br />Thay $y = 2x - 1$ vào phương trình thứ hai, ta được:<br /><br />$$2x - 1 = 3x^2$$<br /><br />Suy ra $3x^2 - 2x + 1 = 0$. Phương trình này có biệt thức $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0$. Do đó, phương trình vô nghiệm. Điều này có nghĩa là hệ phương trình trên vô nghiệm, tức là $(d)$ và $(P)$ không cắt nhau.<br /><br />**(b)** Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách MN, ta cần tìm điểm $M$ trên $(P)$ và điểm $N$ trên $(d)$ sao cho khoảng cách $MN$ là nhỏ nhất. <br /><br />**Giải thích:** Khoảng cách $MN$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ và $N$ là hình chiếu vuông góc của nhau lên đường thẳng $(d)$. <br /><br />Gọi $M(x_0, 3x_0^2)$ là điểm thuộc $(P)$ và $N(x_1, 2x_1 - 1)$ là điểm thuộc $(d)$. <br /><br />Do $MN$ vuông góc với $(d)$ nên:<br /><br />$$\frac{3x_0^2 - (2x_1 - 1)}{x_0 - x_1} = -2$$<br /><br />Suy ra:<br /><br />$$3x_0^2 - 2x_1 + 1 = -2x_0 + 2x_1$$<br /><br />$$3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0$$<br /><br />Mặt khác, $M$ thuộc $(P)$ nên $y_0 = 3x_0^2$. Do đó:<br /><br />$$y_0 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0$$<br /><br />$$y_0 = -2x_0 + 4x_1 - 1$$<br /><br />Thay $y_0 = 3x_0^2$ vào phương trình trên, ta được:<br /><br />$$3x_0^2 = -2x_0 + 4x_1 - 1$$<br /><br />$$3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0$$<br /><br />Ta có hệ phương trình:<br /><br />$$\begin{cases}<br />3x_0^2 + 2x_0 - 4x_1 + 1 = 0 \\<br />y_0 = -2x_0 + 4x_1 - 1<br />\end{cases}$$<br /><br />Giải hệ phương trình này, ta tìm được $x_0$ và $x_1$. Từ đó, ta tính được tọa độ của $M$ và $N$, và suy ra khoảng cách $MN$. <br /><br />**Lưu ý:** Để tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách $MN$, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, phương pháp này phức tạp hơn và không cần thiết trong trường hợp này.<br />