Bài 9.)Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi Q là giao điểm hai đường chéo . Qua O kẻ đường thẳng song song với AB Cắt AD và BC ở M và N . Chứng minh a) (OA)/(OC)=(OB)/(OD)=(AB)/(CD) và (BO)/(BD)=(AO)/(AC) b) OM=ON c) (1)/(OM)=(1)/(AB)+(1)/(CD)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng phần một.<br /><br />### Phần a)<br />Chúng ta cần chứng minh rằng \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\) và \(\frac{BO}{BD} = \frac{AO}{AC}\).<br /><br />1. **Chứng minh \(\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}\):**<br /><br /> - Vì \(AB \parallel CD\) và \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, nên \(O\) là trung điểm của đoạn nối giữa trung điểm của \(AB\) và \(CD\).<br /> - Do đó, \(\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{2 \cdot CD}\).<br /> - Nhưng \(AB = 2 \cdot OA\) (vì \(O\) là trung điểm của \(AB\)), nên \(\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}\).<br /><br />2. **Chứng minh \(\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\):**<br /><br /> - Tương tự như trên, vì \(O\) là trung điểm của đoạn nối giữa trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\).<br /><br />3. **Chứng minh \(\frac{BO}{BD} = \frac{AO}{AC}\):**<br /><br /> - Vì \(O\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AO = \frac{AB}{2}\).<br /> - Vì \(O\) cũng là trung điểm của \(CD\), nên = \frac{CD}{2}\).<br /> - Do đó, \(\frac{BO}{BD} = \frac{CD}{2 \cdot BD}\) và \(\frac{AO}{AC} = \frac{AB}{2 \cdot AC}\).<br /> - Nhưng \(BD = 2 \cdot BO\) và \(AC = 2 \cdot AO\), nên \(\frac{BO}{BD} = \frac{AO}{AC}\).<br /><br />### Phần b)<br />Chúng ta cần chứng minh \(OM = ON\).<br /><br />- Vì \(OM \parallel AB\) và \(ON \parallel CD\), nên \(OM\) và \(ON\) là các đoạn nối giữa \(O\) và các đường chéo \(AC\) và \(BD\) tương ứng.<br />- Vì \(O\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(OM = ON\).<br /><br />### Phần c)<br />Chúng ta cần chứng minh \(\frac{1}{OM} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\).<br /><br />- Vì \(OM = ON\), nên \(\frac{1}{OM} = \frac{1}{AB}frac{1}{CD}\).<br />- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các đoạn nối giữa các đường chéo trong hình thang.<br /><br />Vậy, chúng ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.