2) Điều trị cho 30 bệnh nhân sau một thời gian bác sĩ thấy có: 8 người khỏi bệnh sau 7 ngày điều trị, 12 người khỏi bệnh sau 8 ngày điều trị, 10 người khỏi bệnh sau 9 ngày điều trị. a) Gọi X là thời gian điều trị khỏi, lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên x b) Tìm kì vọng phương sai, độ lệch chuẩn của thời gian điều trị khỏi bệnh của nhóm bệnh nhân trên lướng dẫn tự học

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:<br /><br />### a) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên \( X \)<br /><br />Biến ngẫu nhiên \( X \) là thời gian điều trị khỏi bệnh của một bệnh nhân. Dựa vào thông tin đã cho, chúng ta có thể lập bảng phân phối xác suất như sau:<br /><br />| Thời gian điều trị (ngày) | Số bệnh nhân | Xác suất \( P(X=x) \) |<br />|-----------------------------|---------------|------------------------|<br />| 7 | 8 | \( \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \) |<br />| 8 | 12 | \( \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \) |<br />| 9 | 10 | \( \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \) |<br /><br />### b) Tìm kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của thời gian điều trị khỏi bệnh<br /><br />#### K (Expected Value)<br /><br />Kì vọng của biến ngẫu nhiên \( X \), ký hiệu là \( E(X) \), được tính bằng:<br /><br />\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) \]<br /><br />Thay các giá trị vào:<br /><br />\[ E(X) = 7 \cdot \frac{4}{15} + 8 \cdot \frac{2}{5} + 9 \cdot \frac{1}{3} \]<br /><br />Tính toán:<br /><br />\[ E(X) = 7 \cdot \frac{4}{15} + 8 \cdot \frac{2}{5} + 9 \cdot \frac{1}{3} \]<br />\[ E(X) = \frac{28}{15} + \frac{16}{5} + 3 \]<br />\[ E(X) = \frac{28}{15} + \frac{48}{15} + \frac{45}{15} \]<br />\[ E(X) = \frac{121}{15} \approx 8.07 \]<br /><br />#### Phương sai (Variance)<br /><br />Phương sai của biến ngẫu nhiên \( X \), ký hiệu là \( Var(X) \), được tính bằng:<br /><br />\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]<br /><br />Trước hết, ta cần tính \( E(X^2) \):<br /><br />\[ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X=x_i) \]<br /><br />Thay các giá trị vào:<br /><br />\[ E(X^2) = 7^2 \cdot \frac{4}{15} + 8^2 \cdot \frac{2}{5} + 9^2 \cdot \frac{1}{3} \]<br /><br />T:<br /><br />\[ E(X^2) = 49 \cdot \frac{4}{15} + 64 \cdot \frac{2}{5} + 81 \cdot \frac{1}{3} \]<br />\[ E(X^2) = \frac{196}{15} + \frac{128}{5} + 27 \]<br />\[ E(X^2) = \frac{196}{15} + \frac{384} + \frac{405}{15} \]<br />\[ E(X^2) = \frac{985}{15} \approx 65.67 \]<br /><br />Bây giờ, ta có thể tính phương sai:<br /><br />\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]<br />\[ Var(X) = \frac{985}{15} - \left(\frac{121}{15}\right)^2 \]<br />\[ Var(X) = \frac{985}{15} - \frac{14641}{225} \]<br />\[ Var(X) = \frac{985 \cdot 15 - 14641}{225} \]<br />\[ Var(X) = \frac{14825 - 14641}{225} \]<br />\[ Var(X) = \frac{84}{225} \approx 0.37 \]<br /><br />#### Độ lệch chuẩn (Standard Deviationộ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên \( X \), ký hiệu là \( \sigma \), được tính bằng căn bậc hai của phương sai:<br /><br />\[ \sigma = \sqrt{Var(X)} \]<br />\[ \sigma = \sqrt{0.37} \approx 0.61 \]<br /><br />### Kết luận<br /><br />- Kì vọng thời gian điều trị khỏi bệnh của nhóm bệnh nhân là khoảng 8.07 ngày.<br />- Phương sai thời gian điều trị khỏi bệnh của nhóm bệnh nhân là khoảng 0.37 ngày.<br />- Độ lệch chuẩn thời gian điều trị khỏi bệnh của nhóm bệnh nhân là khoảng 0.61 ngày.