Tính đạo hàm các hàm số sau (a) y=x+sqrt (x)+sqrt [3](x) (b) y=tan(x)/(2)-cot(x)/(2) (c) y=ln(x+sqrt (1+x^2)) (d) y=log_(3)(x^2-sinx) (e) y=arcsin(1-x^2)/(1+x^2) (f) y=e^arctanx (g) y=x^(1)/(x) (h) y=(sinx)^arctanx

## Giải:<br /><br />**(a) $y=x+\sqrt {x}+\sqrt [3]{x}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm cơ bản: $(x^n)' = nx^{n-1}$ và $(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$.<br />* Ta có: $y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$<br /><br />**(b) $y=tan\frac {x}{2}-cot\frac {x}{2}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm tan và cot: $(tanx)' = \frac{1}{cos^2x}$ và $(cotx)' = -\frac{1}{sin^2x}$.<br />* Ta có: $y' = \frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})} + \frac{1}{sin^2(\frac{x}{2})} \right)$<br /><br />**(c) $y=ln(x+\sqrt {1+x^{2}})$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit: $(lnx)' = \frac{1}{x}$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$<br /><br />**(d) $y=log_{3}(x^{2}-sinx)$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit: $(log_ax)' = \frac{1}{xln(a)}$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = \frac{1}{(x^2-sinx)ln(3)} \cdot (2x-cosx) = \frac{2x-cosx}{(x^2-sinx)ln(3)}$<br /><br />**(e) $y=arcsin\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm arcsin: $(arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}} \cdot \frac{-4x}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)\sqrt{4x^2}} = \frac{-2}{1+x^2}$<br /><br />**(f) $y=e^{arctanx}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ: $(e^x)' = e^x$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = e^{arctanx} \cdot \frac{1}{1+x^2}$<br /><br />**(g) $y=x^{\frac {1}{x}}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ: $(a^x)' = a^xln(a)$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = (x^{\frac{1}{x}})' = e^{\frac{1}{x}ln(x)} \cdot (\frac{1}{x}ln(x))' = x^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x}ln(x))'$<br />* Tính $(\frac{1}{x}ln(x))' = -\frac{1}{x^2}ln(x) + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1-ln(x)}{x^2}$<br />* Vậy $y' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1-ln(x)}{x^2}$<br /><br />**(h) $y=(sinx)^{arctanx}$**<br /><br />* Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ: $(a^x)' = a^xln(a)$ và đạo hàm của hàm hợp.<br />* Ta có: $y' = ((sinx)^{arctanx})' = e^{arctanx \cdot ln(sinx)} \cdot (arctanx \cdot ln(sinx))'$<br />* Tính $(arctanx \cdot ln(sinx))' = \frac{1}{1+x^2} \cdot ln(sinx) + arctanx \cdot \frac{cosx}{sinx}$<br />* Vậy $y' = (sinx)^{arctanx} \cdot (\frac{1}{1+x^2} \cdot ln(sinx) + arctanx \cdot \frac{cosx}{sinx})$<br />