Câu 14 | (0.5 điểm) Điền đáp án th ích hợp , vào ô trống (chỉ sử dụng chữ số,dấu " " và dấu "...") Cho đa thức P(x)=ax^3+bx^2+cx+1 . Biết P(x+1)-P(x)=x^2 với mọi xin R . Tính a-b+c

Đầu tiên, ta cần tính \(P(x+1)\) và \(P(x)\):<br /><br />\[P(x+1) = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + 1\]<br />\[P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1\]<br /><br />Tiếp theo, ta sẽ tính \(P(x+1) - P(x)\):<br /><br />\[P(x+1) - P(x) = a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + 1 - (ax^3 + bx^2 + cx + 1)\]<br /><br />Sau đó, ta sẽ mở rộng và thu gọn biểu thức:<br /><br />\[P(x+1) - P(x) = a(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + b(x^2 + 2x + 1) + c(x + 1) - ax^3 - bx^2 - cx\]<br />\[P(x+1) - P(x) = ax^3 + 3ax^2 + 3ax + a + bx^2 + 2bx + b + cx + c - ax^3 - bx^2 - cx\]<br />\[P(x+1) - P(x) = 3ax^2 + 3ax + a + 2bx + b + c\]<br /><br />Theo đề bài, \(P(x+1) - P(x) = x^2\), vậy:<br /><br />\[3ax^2 + 3ax + a + 2bx + b + c = x^2\]<br /><br />So sánh các hệ số, ta có:<br /><br />\[3a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}\]<br />\[3a + 2b = 0 \Rightarrow 3 \cdot \frac{1}{3} + 2b = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}\]<br />\[a + b + c = 0 \Rightarrow \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{6}\]<br /><br />Vậy \(a - b + c = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\].