Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R và E là một điểm trên nửa đường tròn đó. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (0) lần lượt tại P và Q. 1. Bốn điểm A.P, E, O cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh AP+BQ=PQ và APcdot BQ=(AB^2)/(4) Tính AB và BO theo B

## Giải thích đáp án đúng:<br /><br />**1. Bốn điểm A., P, E, O cùng thuộc một đường tròn.**<br /><br />**Đúng.**<br /><br />* Ta có: $\angle PAO = 90^\circ$ (tiếp tuyến và bán kính vuông góc tại tiếp điểm)<br />* Tương tự, $\angle PEO = 90^\circ$<br />* Do đó, tứ giác PAEO nội tiếp đường tròn đường kính PO.<br /><br />**2. Chứng minh $AP+BQ=PQ$ và $AP\cdot BQ=\frac {AB^{2}}{4}$**<br /><br />**Đúng.**<br /><br />* Ta có: $AP = PE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)<br />* Tương tự, $BQ = QE$<br />* Do đó, $AP + BQ = PE + QE = PQ$<br /><br />* Xét tam giác $APE$ và tam giác $BQE$, ta có:<br /> * $\angle PAE = \angle QBE$ (cùng chắn cung $AE$)<br /> * $\angle APE = \angle BQE$ (cùng bằng $90^\circ$)<br /> * Do đó, $\triangle APE \sim \triangle BQE$ (g.g)<br /> * Suy ra, $\frac{AP}{BQ} = \frac{PE}{QE} = \frac{AP}{BQ}$<br /> * Vậy, $AP \cdot BQ = PE \cdot QE = \frac{AB^2}{4}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)<br /><br />**Tính AP và BO theo R**<br /><br />* Từ $AP \cdot BQ = \frac{AB^2}{4}$, ta có: $AP \cdot BQ = R^2$<br />* Mà $AP + BQ = PQ = 2R$<br />* Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc hai $x^2 - 2Rx + R^2 = 0$, ta có:<br /> * $x_1 + x_2 = 2R$<br /> * $x_1 \cdot x_2 = R^2$<br />* Do đó, $AP$ và $BQ$ là hai nghiệm của phương trình trên.<br />* Giải phương trình, ta được: $AP = BQ = R$<br /><br />* Xét tam giác $ABO$, ta có:<br /> * $AB = 2R$<br /> * $AO = BO = R$<br /> * Do đó, tam giác $ABO$ là tam giác đều.<br /> * Vậy, $BO = R$. <br />