1,4.3 Tôi ưu hoá có ràng buộc Yi du: Khách san hiện có 300 phòng và nó đang muốn cơ câu lai loại phòng của khách sạn sao cho là tông chi phí hoạt động thấp nhất. Phương trình tổng chi phí hoạt động như sau: TC=2Q_(1)^2+5Q_(2)^2-3Q_(1)Q_(2) Yêu cầu: Xác định cơ cấu loại phòng hợp lý

Để xác định cơ cấu loại phòng hợp lý sao cho tổng chi phí hoạt động thấp nhất, chúng ta cần giải bài toán tối ưu hóa có ràng buộc. Trong trường hợp này, chúng ta có hai loại phòng \( Q_) và \( Q_2 \), và tổng số phòng là 300.<br /><br />### Phương trình tối ưu hóa:<br />\[ TC = 2Q_1^2 + 5Q_2^2 - 3Q_1Q_2 \]<br /><br />### Ràng buộc:<br />\[ Q_1 + Q_2 \leq 300 \]<br />\[ Q_1_2 \geq 0 \]<br /><br />### Giải bài toán bằng phương pháp nhân tử Lagrange:<br />Để giải bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, chúng ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Đặt:<br />\[ L(Q_1, Q_2, \lambda) = 2Q_1^2 +_2^2 - 3Q_1Q_2 + \lambda (300 - Q_1 - Q_2) \]<br /><br />Đạo hàm của \( L \) theo \( Q_1 \), \( Q_2 \) và \( \lambda \) bằng 0:<br />\[ \frac{\partial L}{\partial Q_1} = 4Q_1 - 3Q_2 - \lambda = 0 \]<br />\[ \frac{\partial L}{\partial Q_2} = 10Q_2 - 3Q_1 - \lambda = 0 \]<br />\[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 300 - Q_1 -2 = 0 \]<br /><br />Từ ba phương trình trên, ta có hệ phương trình:<br />1. \( 4Q_1 - 3Q_2 - \lambda = 0 \)<br />2. \( 10Q_2 - 3Q_1 - \lambda = 0 \)<br />3. \( 300 - Q_1 - Q_2 = 0 \)<br /><br />Giải hệ phương trình này:<br /><br />Từ phương trình (3):<br />\[ Q_1 + Q_2 = 300 \]<br />\[ Q_2 = 300 - Q_1 \]<br /><br />Thay \( Q_2 \) vào phương trình (1) và (2):<br />\[ 4Q_1 - 3(300 - Q_1) - \lambda = 0 \]<br />\[ 10 - Q) - 3Q_1 - \lambda = 0 \]<br /><br />Đơn giản hóa:<br />\[ 4Q_1 - 900 + 3Q_1 - \lambda = 0 \]<br />\[ 3000 - 10Q_1 - 3Q_1 - \lambda = 0 \]<br /><br />Tổng hợp lại:<br />\[ 7Q_1 - 900 - \lambda = 0 \]<br />\[ 3000 - 13Q_1 - \lambda = 0 \]<br /><br />Gộp lại:<br />\[ 7Q_1 - 900 = 13Q_1 - 3000 \]<br />\[ 20Q_1 = 2100 \]<br />\[ Q_1 = 105 \]<br /><br />Th_1 \) vào phương trình (3):<br />\[ Q_2 = 300 - 105 = 195 \]<br /><br />Vậy, cơ cấu loại phòng hợp lý là:<br />- Loại phòng \( Q_1 \): 105 phòng<br />- Loại phòng \( Q_2 \): 195 phòng<br /><br />### Kết luận:<br />Để tối ưu hóa tổng chi phí hoạt động, khách sạn nên có 105 phòng loại \( Q_1 \) và 195 phòng loại \( Q_2 \).