1.4.3 Tối ưu hoá có ràng buộc Ví du: Khách sạn hiện có 300 phòng và nó đang muốn cơ cấu lại loại phòng của khách sạn sao cho là tổng chi phí hoạt động thấp nhất. Phương trình tổng chi phí hoạt động như sau: TC=2Q_(1)^2+5Q_(2)^2-3Q_(1)Q_(2) Yêu cầu: Xác định cấu loại phòng hợp lý

Để xác định mẫu loại phòng hợp lý, chúng ta cần tối ưu hóa hàm chi phí $TC$ với ràng buộc là tổng số phòng $Q_1 + Q_2 = 300$. <br /><br />**Bước 1:** Xây dựng hàm Lagrange:<br /><br />$L = TC + \lambda (300 - Q_1 - Q_2) = 2Q_1^2 + 5Q_2^2 - 3Q_1Q_2 + \lambda (300 - Q_1 - Q_2)$<br /><br />**Bước 2:** Tìm đạo hàm riêng của hàm Lagrange theo $Q_1$, $Q_2$ và $\lambda$:<br /><br />* $\frac{\partial L}{\partial Q_1} = 4Q_1 - 3Q_2 - \lambda = 0$<br />* $\frac{\partial L}{\partial Q_2} = 10Q_2 - 3Q_1 - \lambda = 0$<br />* $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 300 - Q_1 - Q_2 = 0$<br /><br />**Bước 3:** Giải hệ phương trình trên để tìm $Q_1$, $Q_2$ và $\lambda$:<br /><br />Giải hệ phương trình, ta được:<br /><br />* $Q_1 = 100$<br />* $Q_2 = 200$<br />* $\lambda = 100$<br /><br />**Kết luận:**<br /><br />Mẫu loại phòng hợp lý là $Q_1 = 100$ phòng loại 1 và $Q_2 = 200$ phòng loại 2. <br />