Câu 3 ( 3 điểm). Cho biết một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với giá là 80 và 120 . Giả sử hàm chi phí của doanh nghiệp là: C=Q_(1)^2+2Q_(1)Q_(2)+5Q_(2)^2 . Hãy xác định Q_(1),Q_(2) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa?

## Giải bài toán tối ưu hóa lợi nhuận<br /><br />**1. Xây dựng hàm lợi nhuận:**<br /><br />* Lợi nhuận (π) = Doanh thu (TR) - Chi phí (TC)<br />* Doanh thu từ sản phẩm 1: $TR_1 = P_1 * Q_1 = 80Q_1$<br />* Doanh thu từ sản phẩm 2: $TR_2 = P_2 * Q_2 = 120Q_2$<br />* Doanh thu tổng: $TR = TR_1 + TR_2 = 80Q_1 + 120Q_2$<br />* Hàm lợi nhuận: $π = TR - TC = 80Q_1 + 120Q_2 - (Q_1^2 + 2Q_1Q_2 + 5Q_2^2)$<br /><br />**2. Tìm điểm tối ưu:**<br /><br />Để tìm điểm tối ưu, ta cần tìm giá trị của $Q_1$ và $Q_2$ làm cho lợi nhuận đạt cực đại. Điều này được thực hiện bằng cách tìm đạo hàm riêng của hàm lợi nhuận theo $Q_1$ và $Q_2$, sau đó cho chúng bằng 0.<br /><br />* Đạo hàm riêng theo $Q_1$: $\frac{∂π}{∂Q_1} = 80 - 2Q_1 - 2Q_2 = 0$<br />* Đạo hàm riêng theo $Q_2$: $\frac{∂π}{∂Q_2} = 120 - 2Q_1 - 10Q_2 = 0$<br /><br />**3. Giải hệ phương trình:**<br /><br />Ta có hệ phương trình:<br /><br />* $80 - 2Q_1 - 2Q_2 = 0$<br />* $120 - 2Q_1 - 10Q_2 = 0$<br /><br />Giải hệ phương trình này, ta được:<br /><br />* $Q_1 = 20$<br />* $Q_2 = 10$<br /><br />**4. Kết luận:**<br /><br />Doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa khi sản xuất $Q_1 = 20$ đơn vị sản phẩm 1 và $Q_2 = 10$ đơn vị sản phẩm 2.<br /><br />**Lưu ý:**<br /><br />Để đảm bảo điểm tối ưu là điểm cực đại, ta cần kiểm tra ma trận Hessian của hàm lợi nhuận. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ma trận Hessian luôn âm định, do đó điểm tối ưu tìm được là điểm cực đại.<br />