Câu 4 ( 4,0 điểm). 1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y_(1)=x_(1)^3-2x_(2) và y_(2)=x_(2)^3-2x_(1) , trong đó x_(1),x_(2) là các nghiệm của phương trình x^2-x-5=0 2) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn (a+1)(b+1)=4ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=(1)/(sqrt (3a^2)+1)+(1)/(sqrt (3b^2)+1)

## Câu 4:<br /><br />**1) Lập phương trình bậc hai:**<br /><br />* **Bước 1:** Tìm $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - x - 5 = 0$. <br /> * Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:<br /> $x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$<br />* **Bước 2:** Tính $y_1$ và $y_2$ dựa vào $x_1$ và $x_2$.<br /> * $y_1 = x_1^3 - 2x_2 = \left(\dfrac{1 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 - \sqrt{21}}{2}$<br /> * $y_2 = x_2^3 - 2x_1 = \left(\dfrac{1 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 + \sqrt{21}}{2}$<br />* **Bước 3:** Áp dụng định lý Viète để lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $y_1$ và $y_2$.<br /> * Tổng hai nghiệm: $y_1 + y_2 = \left(\dfrac{1 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 - \sqrt{21}}{2} + \left(\dfrac{1 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 + \sqrt{21}}{2} = ...$<br /> * Tích hai nghiệm: $y_1 \cdot y_2 = \left(\left(\dfrac{1 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 - \sqrt{21}}{2}\right) \cdot \left(\left(\dfrac{1 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 2 \cdot \dfrac{1 + \sqrt{21}}{2}\right) = ...$<br />* **Bước 4:** Viết phương trình bậc hai có dạng: $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0$.<br /><br />**2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P:**<br /><br />* **Bước 1:** Biến đổi điều kiện $(a+1)(b+1)=4ab$ về dạng đơn giản hơn.<br /> * $(a+1)(b+1)=4ab \Rightarrow ab + a + b + 1 = 4ab \Rightarrow 3ab - a - b - 1 = 0$<br /> * $\Rightarrow (3a-1)(b-1) = 0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{3}$ hoặc $b = 1$.<br />* **Bước 2:** Xét từng trường hợp của a và b.<br /> * **Trường hợp 1:** $a = \dfrac{1}{3}$. Thay vào biểu thức P, ta có:<br /> * $P = \dfrac{1}{\sqrt{3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{3b^2 + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{3}}} + \dfrac{1}{\sqrt{3b^2 + 1}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{3b^2 + 1}}$<br /> * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:<br /> * $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{3b^2 + 1}}\right)^2 \le \left(\dfrac{3}{4} + 1\right) \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3b^2 + 1}\right) = \dfrac{7}{4} \cdot \dfrac{3b^2 + 2}{3b^2 + 1}$<br /> * $\Rightarrow P \le \sqrt{\dfrac{7}{4} \cdot \dfrac{3b^2 + 2}{3b^2 + 1}}$<br /> * Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{3b^2 + 1}} \Rightarrow b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.<br /> * **Trường hợp 2:** $b = 1$. Tương tự trường hợp 1, ta cũng tìm được giá trị lớn nhất của P.<br />* **Bước 3:** So sánh giá trị lớn nhất của P trong hai trường hợp và kết luận.<br /><br />**Lưu ý:** <br /><br />* Các bước tính toán cụ thể cho $y_1$, $y_2$, tổng và tích hai nghiệm cần được thực hiện đầy đủ.<br />* Việc tìm giá trị lớn nhất của P cần sử dụng các kỹ thuật bất đẳng thức phù hợp.<br />* Kết quả cuối cùng cần được trình bày rõ ràng và chính xác.<br />