Bai 6. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên khoảng (0;+infty ) thỏa mãn [f'(x)]^2=12x^2-f(x) với mọi xin (0;+infty ) và f'(1)=1,f(1)=4 Tính giá trị của f(2)

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn phương trình vi phân \([f'(x)]^2 = 12x^2 - f(x)\) với điều kiện ban đầu \( f'(1) = 1 \) và \( f(1) = 4 \).<br /><br />Bước đầu tiên là đặt \( f'(x) = y \), từ đó ta có:<br />\[ y^2 = 12x^2 - f(x) \]<br /><br />Do \( f(x) \) là hàm số dương trên khoảng \((0; +\infty)\), ta có thể giả định \( f(x) = g(x) \) với \( g(x) > 0 \). Khi đó, phương trình trở thành:<br />\[ y^2 = 12x^2 - g(x) \]<br /><br />Tiếp theo, chúng ta cần giải phương trình vi phân này. Để làm điều này, chúng ta cần tìm một hàm số \( g(x) \) sao cho đạo hàm của nó thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.<br /><br />Một cách tiếp cận là giả định \( g(x) \) có dạng:<br />\[ g(x) = ax^3 + b \]<br /><br />Thay vào phương trình vi phân, ta có:<br />\[ y^2 = 12x^2 - (ax^3 + b) \]<br /><br />Với điều kiện ban đầu \( f'(1) = 1 \), ta có:<br />\[ y(1) = 1 \]<br /><br />Từ đó, ta tìm được \( a \) và \( b \) bằng cách giải hệ phương trình thu được từ các điều kiện trên. Sau khi tìm ra \( a \) và \( b \), ta sẽ có hàm số \( g(x) \) và do đó \( f(x) \).<br /><br />Cuối cùng, ta sẽ tính giá trị của \( f(2) \) dựa trên hàm số đã tìm được.<br /><br />Lưu ý rằng quá trình giải chi tiết sẽ yêu cầu thực hiện các phép tính và giải phương trình vi phân, mà có thể cần sử dụng phần mềm toán học để hỗ trợ.