Phương án đúng trong bài toán đại số tuyến tính
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phương án đúng cho bài toán đại số tuyến tính. Yêu cầu của bài toán là xác định xem phương trình \(Ax = b\) có nghiệm hay không, với \(A\) là ma trận và \(b\) là vector. Chúng ta cũng đã biết rằng \(x = 0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\). Giả sử \(x^*\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các phương án đúng cho câu hỏi sau: 1. Nếu \(x^0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\) và \(x^*\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\), thì \(x^* + x^0\) có phải là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\) không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần chứng minh rằng \(Ax^* = b\) khi và chỉ khi \(Ax^* + Ax^0 = b\). Từ đó, ta có: \(Ax^* + Ax^0 = Ax^* + A \cdot 0 = Ax^* = b\) Vì vậy, \(x^* + x^0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\). 2. Nếu \(x^0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\) và \(x^*\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\), thì \(x^* + 2x^0\) có phải là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\) không? Tương tự như trường hợp trên, chúng ta cần chứng minh rằng \(Ax^* = b\) khi và chỉ khi \(Ax^* + 2Ax^0 = b\). Từ đó, ta có: \(Ax^* + 2Ax^0 = Ax^* + 2 \cdot A \cdot 0 = Ax^* = b\) Vì vậy, \(x^* + 2x^0\) cũng là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\). 3. Nếu \(x^0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\) và \(x^*\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\), thì \(x^* + x^0\) có phải là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\) không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần chứng minh rằng \(Ax^* = 0\) khi và chỉ khi \(Ax^* + Ax^0 = 0\). Từ đó, ta có: \(Ax^* + Ax^0 = Ax^* + A \cdot 0 = Ax^* = 0\) Vì vậy, \(x^* + x^0\) cũng là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\). 4. Nếu \(x^0\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = 0\) và \(x^*\) là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\), thì \(x^* - x^0\) có phải là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\) không? Tương tự như trường hợp trên, chúng ta cần chứng minh rằng \(Ax^* = b\) khi và chỉ khi \(Ax^* - Ax^0 = b\). Từ đó, ta có: \(Ax^* - Ax^0 = Ax^* - A \cdot 0 = Ax^* = b\) Vì vậy, \(x^* - x^0\) cũng là một nghiệm của phương trình \(Ax = b\). Từ những phân tích trên, chúng ta có thể kết luận rằng các phương án đúng cho các câu hỏi đã đề cập là: 1. Đúng 2. Đúng 3. Đúng 4. Đúng Với những phương án này, chúng ta có thể áp dụng vào các bài toán đại số tuyến tính để tìm ra các nghiệm phù hợp.