Tính các dạo hàm riêng của hàm ẩn thỏa phương trình đã cho
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các dạo hàm riêng của hàm ẩn \( z \) thỏa phương trình đã cho. Phương trình được cho dưới dạng: \[ x^{2} z+y^{2}-2 z^{2}=(y-x) e^{x y z} \] Yêu cầu của chúng ta là tính \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1) \) và \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1) \), biết rằng \( z(1 ; 1)=1 \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp dạo hàm riêng. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1) \). Để làm điều này, chúng ta sẽ lấy đạo hàm riêng của cả hai phía của phương trình theo biến x và sau đó thay vào giá trị \( x=1 \) và \( y=1 \). Bắt đầu bằng việc tính đạo hàm riêng của phía trái của phương trình theo biến x: \[ \frac{{\partial}}{{\partial x}}(x^{2} z+y^{2}-2 z^{2})=2 x z \] Tiếp theo, tính đạo hàm riêng của phía phải của phương trình theo biến x: \[ \frac{{\partial}}{{\partial x}}((y-x) e^{x y z})=(y-x) y z e^{x y z} \] Sau đó, thay \( x=1 \) và \( y=1 \) vào cả hai đạo hàm riêng đã tính: \[ 2(1)(1)=2 \] \[ (1-1)(1)(1)e^{1(1)(1)}=0 \] Vậy \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1)=2 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1) \). Tương tự như trên, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của cả hai phía của phương trình theo biến y và sau đó thay vào giá trị \( x=1 \) và \( y=1 \). Đầu tiên, tính đạo hàm riêng của phía trái của phương trình theo biến y: \[ \frac{{\partial}}{{\partial y}}(x^{2} z+y^{2}-2 z^{2})=2 y \] Tiếp theo, tính đạo hàm riêng của phía phải của phương trình theo biến y: \[ \frac{{\partial}}{{\partial y}}((y-x) e^{x y z})=(1-x) x z e^{x y z} \] Sau đó, thay \( x=1 \) và \( y=1 \) vào cả hai đạo hàm riêng đã tính: \[ 2(1)=2 \] \[ (1-1)(1)(1)e^{1(1)(1)}=0 \] Vậy \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1)=2 \). Tóm lại, chúng ta đã tính được \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1)=2 \) và \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1)=2 \) theo yêu cầu của bài toán.