Tính các dạo hàm riêng của hàm ẩn thỏa phương trình đã cho

4
(273 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các dạo hàm riêng của hàm ẩn \( z \) thỏa phương trình đã cho. Phương trình được cho dưới dạng: \[ x^{2} z+y^{2}-2 z^{2}=(y-x) e^{x y z} \] Yêu cầu của chúng ta là tính \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1) \) và \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1) \), biết rằng \( z(1 ; 1)=1 \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp dạo hàm riêng. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1) \). Để làm điều này, chúng ta sẽ lấy đạo hàm riêng của cả hai phía của phương trình theo biến x và sau đó thay vào giá trị \( x=1 \) và \( y=1 \). Bắt đầu bằng việc tính đạo hàm riêng của phía trái của phương trình theo biến x: \[ \frac{{\partial}}{{\partial x}}(x^{2} z+y^{2}-2 z^{2})=2 x z \] Tiếp theo, tính đạo hàm riêng của phía phải của phương trình theo biến x: \[ \frac{{\partial}}{{\partial x}}((y-x) e^{x y z})=(y-x) y z e^{x y z} \] Sau đó, thay \( x=1 \) và \( y=1 \) vào cả hai đạo hàm riêng đã tính: \[ 2(1)(1)=2 \] \[ (1-1)(1)(1)e^{1(1)(1)}=0 \] Vậy \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1)=2 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1) \). Tương tự như trên, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của cả hai phía của phương trình theo biến y và sau đó thay vào giá trị \( x=1 \) và \( y=1 \). Đầu tiên, tính đạo hàm riêng của phía trái của phương trình theo biến y: \[ \frac{{\partial}}{{\partial y}}(x^{2} z+y^{2}-2 z^{2})=2 y \] Tiếp theo, tính đạo hàm riêng của phía phải của phương trình theo biến y: \[ \frac{{\partial}}{{\partial y}}((y-x) e^{x y z})=(1-x) x z e^{x y z} \] Sau đó, thay \( x=1 \) và \( y=1 \) vào cả hai đạo hàm riêng đã tính: \[ 2(1)=2 \] \[ (1-1)(1)(1)e^{1(1)(1)}=0 \] Vậy \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1)=2 \). Tóm lại, chúng ta đã tính được \( z_{x}^{\prime}(1 ; 1)=2 \) và \( z_{y}^{\prime}(1 ; 1)=2 \) theo yêu cầu của bài toán.