Tính toán và phân tích dãy số trong bài toán số học
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính toán và phân tích dãy số trong bài toán số học. Chúng ta sẽ tập trung vào bài toán con số 1, trong đó chúng ta cần tính toán dãy số \(U_n\) với công thức \(c_0 U_1 = 2\) và \(q = -\frac{1}{2}\). Chúng ta cũng sẽ tính toán giá trị của \(U_5\), \(U_{10}\) và \(S_{10}\). Để bắt đầu, chúng ta cần hiểu rõ công thức của dãy số. Trong trường hợp này, công thức của dãy số là \(U_n = c_0 \cdot q^{n-1}\), trong đó \(c_0\) là giá trị ban đầu của dãy số và \(q\) là hệ số nhân. Với công thức này, chúng ta có thể tính toán giá trị của bất kỳ phần tử nào trong dãy số. Đầu tiên, chúng ta tính toán giá trị của \(U_1\) bằng cách thay \(n = 1\) vào công thức. Với \(c_0 U_1 = 2\), chúng ta có \(c_0 \cdot q^{1-1} = 2\), từ đó suy ra \(c_0 = 2\). Tiếp theo, chúng ta tính toán giá trị của \(U_5\) bằng cách thay \(n = 5\) vào công thức. Với \(c_0 = 2\) và \(q = -\frac{1}{2}\), chúng ta có \(U_5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{5-1}\). Tính toán giá trị này, chúng ta có \(U_5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}\). Tương tự, chúng ta tính toán giá trị của \(U_{10}\) bằng cách thay \(n = 10\) vào công thức. Với \(c_0 = 2\) và \(q = -\frac{1}{2}\), chúng ta có \(U_{10} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{10-1}\). Tính toán giá trị này, chúng ta có \(U_{10} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^9 = 2 \cdot \frac{1}{512} = \frac{1}{256}\). Cuối cùng, chúng ta tính toán giá trị của \(S_{10}\), tổng của 10 phần tử đầu tiên trong dãy số. Để tính toán giá trị này, chúng ta sử dụng công thức \(S_n = \frac{c_0 \cdot (1 - q^n)}{1 - q}\). Với \(c_0 = 2\), \(q = -\frac{1}{2}\) và \(n = 10\), chúng ta có \(S_{10} = \frac{2 \cdot (1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10})}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}\). Tính toán giá trị này, chúng ta có \(S_{10} = \frac{2 \cdot (1 - \frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} = \frac{2046}{3072} = \frac{341}{512}\). Từ các tính toán trên, chúng ta đã tính toán được giá trị của \(U_5\), \(U_{10}\) và \(S_{10}\) trong bài toán con số 1.