Tính giới hạn của các biểu thức trong giới hạn vô cùng và giới hạn tại điểm xác định
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính giới hạn của các biểu thức trong hai trường hợp: giới hạn vô cùng và giới hạn tại điểm xác định. Chúng ta sẽ giải quyết ba bài toán cụ thể để hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn. Bài toán a yêu cầu chúng ta tính giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(x+1)^{200}(3 x-2)^{400}}{(2 x+3)^{600}} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc của giới hạn vô cùng. Khi x tiến đến vô cùng, các hạng tử có bậc cao nhất trong biểu thức sẽ chiếm ưu thế và quyết định giá trị của giới hạn. Trong trường hợp này, hạng tử có bậc cao nhất là \(x^{600}\). Vì vậy, giới hạn của biểu thức này sẽ bằng 0. Bài toán b yêu cầu chúng ta tính giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+5}\right)^{3 x+2} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cũng sử dụng quy tắc của giới hạn vô cùng. Trong trường hợp này, hạng tử có bậc cao nhất là \(\left(\frac{x-1}{x+5}\right)^{3 x+2}\). Khi x tiến đến vô cùng, ta có thể thấy rằng \(\frac{x-1}{x+5}\) tiến đến 1. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này sẽ bằng 1. Bài toán c yêu cầu chúng ta tính giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{\sin ^{2} 2 x} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc của giới hạn tại điểm xác định. Khi x tiến đến 0, ta có thể thấy rằng \(\frac{x-\ln (1+x)}{\sin ^{2} 2 x}\) tiến đến \(\frac{0-0}{0^{2}}\), tức là không xác định. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này không tồn tại. Tóm lại, trong bài viết này chúng ta đã tìm hiểu về tính giới hạn của các biểu thức trong giới hạn vô cùng và giới hạn tại điểm xác định. Chúng ta đã giải quyết ba bài toán cụ thể và hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn trong các trường hợp khác nhau.