Chứng minh đẳng thức \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{a b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \) với \( a>0 ; b>0 \)

4

(238 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{a b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \) với \( a >0 ; b >0 \). Đây là một đẳng thức quan trọng trong toán học và có thể được áp dụng trong nhiều bài toán khác nhau. Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là biến đổi biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân mẫu và tử của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - a \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} - b \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \sqrt{a} \sqrt{b} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân tử và mẫu của phân số \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) với \( \sqrt{a} \sqrt{b} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai đại lượng trong ngoặc vuông bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \( (a \sqrt{a}+b \sqrt{b}) \sqrt{a} \sqrt{b} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + b \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) Simplifying this expression, we get: \( a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả trên lại: \( a^{\frac{3}{2}} - a \sqrt{a} \sqrt{b} + b \sqrt{a} \sqrt{b} - b^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{3}{2}} \sqrt{b} + b^{\frac{3}{2}} \sqrt{a} \) Cuối cùng, chúng ta sẽ so sánh biểu thức này với \( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b \) So sánh hai biểu thức này, chúng ta thấy rằng chúng giống nhau. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được đẳng thức \( \frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{a b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \) với \( a >0 ; b >0 \). Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh đẳng thức quan trọng này bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức. Đây là một ví dụ minh họa cho cách sử dụng logic và kỹ năng tính toán trong toán học.