Tính giá trị của phép tích phân
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một bài toán tính giá trị của một phép tích phân. Yêu cầu của bài toán là tính giá trị của phép tích phân \( \int_{1}^{3}(1+f(x)) \mathrm{d} x \), trong đó \( f(x) \) là một hàm số có nguyên hàm là \( F(x)=x^{3} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tích phân và nguyên hàm. Đầu tiên, chúng ta biết rằng nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) là \( F(x)=x^{3} \). Điều này có nghĩa là \( F'(x)=f(x) \). Vì vậy, chúng ta có thể viết lại phép tích phân ban đầu dưới dạng \( \int_{1}^{3}(1+F'(x)) \mathrm{d} x \). Tiếp theo, chúng ta áp dụng định lý cộng tích phân để tính giá trị của phép tích phân này. Theo định lý cộng tích phân, ta có thể chia phép tích phân thành hai phần: \( \int_{1}^{3}1 \mathrm{d} x \) và \( \int_{1}^{3}F'(x) \mathrm{d} x \). Phần đầu tiên là tích phân của hằng số, do đó có giá trị là \( 1 \cdot (3-1) = 2 \). Phần thứ hai là tích phân của \( F'(x) \), tức là \( \int_{1}^{3}x^{3} \mathrm{d} x \). Để tính giá trị của phần thứ hai, chúng ta sử dụng công thức tích phân của hàm mũ. Theo công thức này, ta có \( \int x^{n} \mathrm{d} x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), trong đó \( n \) là một số nguyên và \( C \) là hằng số. Áp dụng công thức này vào phần thứ hai của phép tích phân, ta có \( \int_{1}^{3}x^{3} \mathrm{d} x = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{3} \). Tiếp theo, chúng ta tính giá trị của biểu thức này bằng cách thay \( x \) bằng 3 và 1 vào công thức. Ta có \( \left[\frac{3^{4}}{4}\right]_{1}^{3} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20 \). Vậy, giá trị của phép tích phân \( \int_{1}^{3}(1+f(x)) \mathrm{d} x \) là 20. Do đó, đáp án chính xác là A.