Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số lớp 8
## Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số lớp 8
Trong chương trình đại số lớp 8, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò vô cùng quan trọng. Chúng là những công thức toán học cơ bản, giúp chúng ta rút gọn và giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này sẽ phân tích và chứng minh từng hằng đẳng thức, giúp bạn hiểu rõ bản chất và cách áp dụng chúng trong thực tế.
Hằng đẳng thức số 1: Bình phương của một tổng
Hằng đẳng thức này được phát biểu như sau: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Để chứng minh, ta sử dụng phép nhân đa thức:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta khai triển bình phương của một tổng thành một biểu thức gồm ba hạng tử. Ví dụ, $(x + 2)^2 = x^2 + 2.x.2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Hằng đẳng thức số 2: Bình phương của một hiệu
Hằng đẳng thức này tương tự như hằng đẳng thức số 1, nhưng thay vì tổng, ta có hiệu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Chứng minh tương tự như trên, ta có:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Hằng đẳng thức này giúp chúng ta khai triển bình phương của một hiệu thành một biểu thức gồm ba hạng tử. Ví dụ, $(x - 3)^2 = x^2 - 2.x.3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương
Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta phân tích một hiệu hai bình phương thành tích của hai nhân tử: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
Chứng minh:
$(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$.
Hằng đẳng thức này rất hữu ích trong việc giải các phương trình bậc hai và rút gọn các biểu thức đại số. Ví dụ, $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$.
Hằng đẳng thức số 4: Lập phương của một tổng
Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta khai triển lập phương của một tổng thành một biểu thức gồm bốn hạng tử: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Chứng minh:
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + ba^2 + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Hằng đẳng thức này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến lập phương của một tổng. Ví dụ, $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2.1 + 3x.1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Hằng đẳng thức số 5: Lập phương của một hiệu
Hằng đẳng thức này tương tự như hằng đẳng thức số 4, nhưng thay vì tổng, ta có hiệu: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Chứng minh tương tự như trên, ta có:
$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - ba^2 + 2ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Hằng đẳng thức này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến lập phương của một hiệu. Ví dụ, $(x - 2)^3 = x^3 - 3x^2.2 + 3x.2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Hằng đẳng thức số 6: Tổng hai lập phương
Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta phân tích tổng hai lập phương thành tích của hai nhân tử: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Chứng minh:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.
Hằng đẳng thức này rất hữu ích trong việc giải các phương trình bậc ba và rút gọn các biểu thức đại số. Ví dụ, $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai lập phương
Hằng đẳng thức này cho phép chúng ta phân tích hiệu hai lập phương thành tích của hai nhân tử: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Chứng minh:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.
Hằng đẳng thức này rất hữu ích trong việc giải các phương trình bậc ba và rút gọn các biểu thức đại số. Ví dụ, $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.
## Kết luận
7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số lớp 8 là những công thức toán học cơ bản, giúp chúng ta rút gọn và giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Việc hiểu rõ bản chất và cách áp dụng chúng sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và đạt được kết quả học tập tốt hơn.