Xác định giá trị của m để hàm số liên tục tại x=
Hàm số \(f(x)\) được định nghĩa như sau: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{e^{-2 x}+e^{2 x}-2}{2 x^{2}}, & , x
eq 0 \\ 2 m & , x=0\end{array}\right.\] Yêu cầu của bài toán là xác định giá trị của \(m\) để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\). Để làm điều này, chúng ta cần kiểm tra xem giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 0 từ cả hai phía có tồn tại và có bằng nhau hay không. Đầu tiên, chúng ta xét giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 0 từ phía trái (\(x<0\)). Khi đó, ta có: \[\lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{e^{-2 x}+e^{2 x}-2}{2 x^{2}}\] Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital. Áp dụng quy tắc này, ta có: \[\lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{-2e^{-2 x}+2e^{2 x}}{4x}\] Tiếp theo, chúng ta xét giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 0 từ phía phải (\(x>0\)). Khi đó, ta có: \[\lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{e^{-2 x}+e^{2 x}-2}{2 x^{2}}\] Tương tự như trường hợp trước, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn này: \[\lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{-2e^{-2 x}+2e^{2 x}}{4x}\] Để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\), giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) tiến đến 0 từ cả hai phía phải bằng nhau. Tức là: \[\lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} f(x)\] Từ đó, ta có: \[\lim_{{x \to 0^-}} \frac{-2e^{-2 x}+2e^{2 x}}{4x} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{-2e^{-2 x}+2e^{2 x}}{4x}\] Sau khi giải phương trình trên, ta sẽ tìm được giá trị của \(m\) để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\).