Tính đạo hàm và tìm giá trị của hàm số
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm và giá trị của hàm số \(f(x)\) đã cho. Hàm số \(f(x)\) được định nghĩa như sau: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2 x-1+e^{x}}{4 x}, & x <br/ >eq 0 \\ m^{2}-4, & x=0 \end{array}\right. \] Chúng ta sẽ giải quyết hai câu hỏi được đề ra trong yêu cầu bài viết. a) Để tính \(f'(2)\), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\) và sau đó thay \(x\) bằng \(2\). Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\) khi \(x <br/ >eq 0\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{2 x-1+e^{x}}{4 x}\right) \] Để tính đạo hàm này, chúng ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng, hiệu và tích. Đạo hàm của \(2x\) là \(2\), đạo hàm của \(-1\) là \(0\), và đạo hàm của \(e^x\) là \(e^x\). Đạo hàm của \(4x\) là \(4\). Áp dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có: \[ f'(x) = \frac{2 - 0 + e^x}{4x} - \frac{2x - 1 + e^x}{4x^2} \] Tiếp theo, chúng ta thay \(x\) bằng \(2\) để tính \(f'(2)\): \[ f'(2) = \frac{2 - 0 + e^2}{4(2)} - \frac{2(2) - 1 + e^2}{4(2)^2} \] Tính toán giá trị này sẽ cho chúng ta kết quả của \(f'(2)\). b) Để tìm giá trị của \(m\) sao cho \(f(x)\) liên tục tại \(x = 0\), chúng ta cần xác định giá trị của \(m\) sao cho \(f(x)\) không bị gián đoạn tại \(x = 0\). Điều này có nghĩa là giá trị của \(f(x)\) khi \(x <br/ >eq 0\) phải bằng giá trị của \(f(x)\) khi \(x = 0\). Ta có: \[ \frac{2x - 1 + e^x}{4x} = m^2 - 4 \] Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình trên đúng với mọi giá trị của \(x\). Sau khi giải phương trình, chúng ta sẽ tìm được giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tính đạo hàm \(f'(2)\) và tìm giá trị của \(m\) để \(f(x)\) liên tục tại \(x = 0\).