Rút gọn và tìm giá trị của biểu thức \( M \) trong bài toán
Trong bài toán này, chúng ta được yêu cầu rút gọn biểu thức \( M \) và tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( M \) có giá trị bằng \( \frac{1}{2} \). Hãy cùng tìm hiểu cách giải quyết bài toán này. Đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc rút gọn biểu thức \( M \). Biểu thức \( M \) được cho bởi: \[ M=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \] Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc nhân tử số và mẫu số của phân số bên phải với \( \sqrt{x}+1 \): \[ M=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right) \times \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các phân số trong ngoặc đơn với nhau: \[ M=\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các phân số trong ngoặc đơn với nhau: \[ M=\frac{1}{x+2\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm chung mẫu số của hai phân số: \[ M=\frac{x-1+x+2\sqrt{x}+1}{(x+2\sqrt{x}+1)(x-1)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn tử số: \[ M=\frac{2x+2\sqrt{x}}{(x+2\sqrt{x}+1)(x-1)} \] Cuối cùng, chúng ta đã rút gọn biểu thức \( M \) thành: \[ M=\frac{2x+2\sqrt{x}}{(x+2\sqrt{x}+1)(x-1)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( M \) có giá trị bằng \( \frac{1}{2} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ đặt \( M = \frac{1}{2} \) và giải phương trình tương ứng: \[ \frac{2x+2\sqrt{x}}{(x+2\sqrt{x}+1)(x-1)} = \frac{1}{2} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số để loại bỏ phân số: \[ 2x+2\sqrt{x} = \frac{(x+2\sqrt{x}+1)(x-1)}{2} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân hai vế của phương trình để loại bỏ phân số: \[ 4x+4\sqrt{x} = (x+2\sqrt{x}+1)(x-1) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân các ngoặc đơn trong phương trình: \[ 4x+4\sqrt{x} = (x^2+x-2\sqrt{x}+x-1) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn tử số: \[ 4x+4\sqrt{x} = (x^2+2x-1) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa các thành phần chứa \( \sqrt{x} \) về cùng một vế của phương trình: \[ 4\sqrt{x} = (x^2+2x-1) - 4x \] Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn tử số: \[ 4\sqrt{x} = x^2-2x-1 \] Cuối cùng, chúng ta đã tìm được phương trình tương ứng với giá trị của \( x \) khi \( M = \frac{1}{2} \): \[ 4\sqrt{x} = x^2-2x-1 \] Để tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc hai hoặc đồ thị học.