Xác định rank của hệ vectơ trong không gian \( \mathbb{R}^{3} \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về rank của một hệ vectơ trong không gian \( \mathbb{R}^{3} \). Đặc biệt, chúng ta sẽ xét hệ vectơ \( S = \{(1,2,3),(2,4,6)\} \) và xác định rank của nó. Để xác định rank của một hệ vectơ, chúng ta cần tìm số lượng vectơ độc lập tuyến tính trong hệ. Điều này có nghĩa là chúng ta phải tìm số lượng vectơ trong hệ mà không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác trong hệ. Trong trường hợp của chúng ta, hệ vectơ \( S = \{(1,2,3),(2,4,6)\} \) có 2 vectơ. Chúng ta sẽ kiểm tra xem liệu các vectơ này có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của nhau hay không. Để làm điều này, chúng ta thực hiện phép biến đổi Gauss-Jordan trên ma trận tạo bởi các vectơ trong hệ. Đầu tiên, chúng ta xếp các vectơ thành các hàng của ma trận và thực hiện phép biến đổi trên các hàng. \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} \] Chúng ta bắt đầu bằng cách thực hiện phép biến đổi của hàng thứ hai bằng cách trừ đi hai lần hàng thứ nhất. \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \] Như chúng ta có thể thấy, hàng thứ hai đã trở thành một hàng không chứa bất kỳ thông tin mới nào. Điều này cho thấy rằng vectơ thứ hai có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của vectơ thứ nhất. Vì vậy, rank của hệ vectơ \( S \) là 1. Vậy, câu trả lời đúng cho câu hỏi là B. 1. Kết luận: Trong không gian \( \mathbb{R}^{3} \), khi xét hệ vectơ \( S = \{(1,2,3),(2,4,6)\} \), rank của hệ vectơ là 1. Điều này có nghĩa là chỉ có một vectơ độc lập tuyến tính trong hệ.