Góc giữa hai đường thẳng trong không gian: Khái niệm, tính chất và ví dụ minh họa
Trong không gian ba chiều, việc xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng là một vấn đề quan trọng trong hình học giải tích. Một trong những khái niệm cơ bản để hiểu rõ mối quan hệ này là góc giữa hai đường thẳng. Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong không gian, khám phá tính chất của nó và minh họa bằng các ví dụ cụ thể.
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc nhỏ nhất tạo bởi hai đường thẳng đó hoặc hai đường thẳng song song với chúng. Góc này được xác định bằng cách chiếu hai đường thẳng lên một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đó. Góc giữa hai đường thẳng được ký hiệu là $\alpha$.
Tính chất của góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng có một số tính chất quan trọng:
* Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Điều này là do góc được xác định là góc nhỏ nhất tạo bởi hai đường thẳng.
* Góc giữa hai đường thẳng bằng 0 độ khi và chỉ khi hai đường thẳng đó trùng nhau.
* Góc giữa hai đường thẳng bằng 90 độ khi và chỉ khi hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
* Góc giữa hai đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí của hai đường thẳng trong không gian. Điều này có nghĩa là góc giữa hai đường thẳng sẽ không thay đổi khi ta dịch chuyển hoặc xoay hai đường thẳng đó trong không gian.
Cách tính góc giữa hai đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng các công thức sau:
* Công thức sử dụng véc tơ chỉ phương:
Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có véc tơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
$\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{||\overrightarrow{u_1}||.||\overrightarrow{u_2}||}.$
* Công thức sử dụng phương trình tham số:
Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình tham số lần lượt là:
$d_1: \left\{
\begin{array}{l}
x = x_1 + at \\
y = y_1 + bt \\
z = z_1 + ct
\end{array}
\right.$
$d_2: \left\{
\begin{array}{l}
x = x_2 + dt \\
y = y_2 + et \\
z = z_2 + ft
\end{array}
\right.$
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
$\cos \alpha = \frac{|ad + be + cf|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\sqrt{d^2 + e^2 + f^2}}.$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có véc tơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1} = (1, 2, 3)$ và $\overrightarrow{u_2} = (2, 1, -1)$. Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Giải:
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng sử dụng véc tơ chỉ phương, ta có:
$\cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{||\overrightarrow{u_1}||.||\overrightarrow{u_2}||} = \frac{|(1, 2, 3).(2, 1, -1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}.\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}.$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{14}} \approx 74,48^\circ$.
Ví dụ 2:
Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình tham số lần lượt là:
$d_1: \left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 2t \\
y = 2 + t \\
z = 3 - t
\end{array}
\right.$
$d_2: \left\{
\begin{array}{l}
x = 2 + t \\
y = 1 - 2t \\
z = 1 + 3t
\end{array}
\right.$
Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.
Giải:
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng sử dụng phương trình tham số, ta có:
$\cos \alpha = \frac{|2.1 + 1.(-2) + (-1).3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}.\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}.$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $\alpha = \arccos \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 36,87^\circ$.
Kết luận
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích. Nó cho phép chúng ta xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và tính toán góc giữa chúng. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.