Số các vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \)
Trong bài toán này, chúng ta được yêu cầu tính số các vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét các hàm \( A(x) \), \( B(x) \), \( C(x) \) và \( D(x) \) đã cho. Đầu tiên, chúng ta xem xét hàm \( A(x) = \sin (x-2) \). Khi \( x \rightarrow 2 \), ta thấy rằng \( (x-2) \rightarrow 0 \). Vì hàm sin có giới hạn khi biến đổi về 0, ta có thể kết luận rằng \( A(x) \) có vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Tiếp theo, chúng ta xem xét hàm \( B(x) = \ln \left(1+3(x-2)^{2}\right) \). Khi \( x \rightarrow 2 \), ta thấy rằng \( (x-2) \rightarrow 0 \). Vì hàm logarithm có giới hạn khi biến đổi về 0, ta có thể kết luận rằng \( B(x) \) cũng có vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Tiếp theo, chúng ta xem xét hàm \( C(x) = \arcsin 2(x-2) \). Khi \( x \rightarrow 2 \), ta thấy rằng \( (x-2) \rightarrow 0 \). Vì hàm arcsin có giới hạn khi biến đổi về 0, ta có thể kết luận rằng \( C(x) \) cũng có vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Cuối cùng, chúng ta xem xét hàm \( D(x) = (x-2)\left(e^{x-2}-1\right) \). Khi \( x \rightarrow 2 \), ta thấy rằng \( (x-2) \rightarrow 0 \). Vì hàm mũ và hàm đa thức đều có giới hạn khi biến đổi về 0, ta có thể kết luận rằng \( D(x) \) cũng có vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Từ những phân tích trên, chúng ta có thể thấy rằng trong các vô cùng bé đã cho, có tất cả 4 vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé \( x-2 \) khi \( x \rightarrow 2 \). Vậy đáp án đúng là A. 4. Như vậy, chúng ta đã giải quyết thành công bài toán và tìm ra đáp án chính xác.