Phân tích nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Phương trình vi phân \( (2x+1)dx - (y^2-y)dy = 0 \) yêu cầu chúng ta tìm nghiệm tổng quát. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích nghiệm tổng quát. Đầu tiên, chúng ta sẽ tách biến và đặt \( M = 2x+1 \) và \( N = y^2-y \). Sau đó, ta tính đạo hàm riêng của \( M \) theo \( y \) và của \( N \) theo \( x \), ký hiệu là \( \frac{{\partial M}}{{\partial y}} \) và \( \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \). Tiếp theo, chúng ta kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn điều kiện đóng hay không. Điều kiện đóng là \( \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}} \). Nếu điều kiện này được thỏa mãn, chúng ta có thể áp dụng công thức nghiệm tổng quát. Trong trường hợp này, ta tính được \( \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 0 \) và \( \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 0 \). Vì hai đạo hàm riêng này không bằng nhau, điều kiện đóng không được thỏa mãn. Do đó, phương trình vi phân không có nghiệm tổng quát. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể tìm được một số nghiệm cụ thể bằng cách giải phương trình vi phân ban đầu. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích hoặc phương pháp số. Tóm lại, phương trình vi phân \( (2x+1)dx - (y^2-y)dy = 0 \) không có nghiệm tổng quát. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể tìm được một số nghiệm cụ thể bằng cách giải phương trình ban đầu.