Tính chất của đường thẳng \( (d): y=(1-4 m) x+m-2 \)
Đường thẳng \( (d) \) được cho bởi phương trình \( y=(1-4 m) x+m-2 \). Chúng ta sẽ tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) có các tính chất sau: a) Đường thẳng \( (d) \) đi qua gốc tọa độ. Để đường thẳng đi qua gốc tọa độ, ta cần thay \( x=0 \) và \( y=0 \) vào phương trình đường thẳng. Khi đó, ta có \( 0=(1-4 m) \cdot 0+m-2 \). Giải phương trình này, ta thu được \( m=2 \). Vậy, khi \( m=2 \), đường thẳng \( (d) \) đi qua gốc tọa độ. b) Đường thẳng \( (d) \) tạo với trục \( Ox \) một góc nhọn hoặc một góc tù. Để tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) tạo với trục \( Ox \) một góc nhọn hoặc một góc tù, ta cần xem xét độ dốc của đường thẳng. Độ dốc của đường thẳng được xác định bởi hệ số góc \( (1-4 m) \). Khi \( (1-4 m) > 0 \), đường thẳng tạo với trục \( Ox \) một góc nhọn. Khi \( (1-4 m) < 0 \), đường thẳng tạo với trục \( Ox \) một góc tù. Vậy, khi \( m > \frac{1}{4} \), đường thẳng \( (d) \) tạo với trục \( Ox \) một góc nhọn. Khi \( m < \frac{1}{4} \), đường thẳng \( (d) \) tạo với trục \( Ox \) một góc tù. c) Đường thẳng \( (d) \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( \frac{3}{2} \). Để tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( \frac{3}{2} \), ta cần thay \( x=0 \) và \( y=\frac{3}{2} \) vào phương trình đường thẳng. Khi đó, ta có \( \frac{3}{2}=(1-4 m) \cdot 0+m-2 \). Giải phương trình này, ta thu được \( m=\frac{7}{4} \). Vậy, khi \( m=\frac{7}{4} \), đường thẳng \( (d) \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( \frac{3}{2} \). d) Đường thẳng \( (d) \) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( \frac{1}{2} \). Để tìm giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( \frac{1}{2} \), ta cần thay \( x=\frac{1}{2} \) và \( y=0 \) vào phương trình đường thẳng. Khi đó, ta có \( 0=(1-4 m) \cdot \frac{1}{2}+m-2 \). Giải phương trình này, ta thu được \( m=\frac{5}{4} \). Vậy, khi \( m=\frac