Phân tích các hàm số và tìm cực trị
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích và tìm cực trị của một số hàm số. Chúng ta sẽ xem xét các hàm số sau đây: 1. Hàm số thứ nhất: \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+2 x+1\) Để tìm cực trị của hàm số này, chúng ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0. Đạo hàm của hàm số này là: \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+2 x+1)\) \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3})-\frac{d}{dx}(\frac{3}{2} x^{2})+\frac{d}{dx}(2 x)+\frac{d}{dx}(1)\) \(y'=x^{2}-3x+2\) Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0, chúng ta giải phương trình \(x^{2}-3x+2=0\). Kết quả là \(x=1\) và \(x=2\). Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra xem các điểm này là cực trị tối đa hay tối thiểu. Để làm điều này, chúng ta cần xem xét đạo hàm thứ hai của hàm số: \(y''=\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+2)\) \(y''=2x-3\) Để xác định tính chất của các điểm cực trị, chúng ta cần xem xét giá trị của \(y''\) tại các điểm \(x=1\) và \(x=2\). Khi \(x=1\), \(y''=-1\), và khi \(x=2\), \(y''=1\). Vì \(y''\) thay đổi từ âm sang dương tại \(x=2\), điểm này là một cực trị tối thiểu. Trong khi đó, vì \(y''\) thay đổi từ dương sang âm tại \(x=1\), điểm này là một cực trị tối đa. Vậy, hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+2 x+1\) có cực trị tối đa tại điểm \(x=1\) và cực trị tối thiểu tại điểm \(x=2\). 2. Hàm số thứ hai: \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1\) Tương tự như trên, chúng ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số này bằng 0. Đạo hàm của hàm số này là: \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1)\) \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3})-\frac{d}{dx}(\frac{1}{2} x^{2})-\frac{d}{dx}(2 x)+\frac{d}{dx}(1)\) \(y'=x^{2}-x-2\) Giải phương trình \(x^{2}-x-2=0\), chúng ta có \(x=-1\) và \(x=2\). Tiếp theo, chúng ta xem xét đạo hàm thứ hai của hàm số: \(y''=\frac{d}{dx}(x^{2}-x-2)\) \(y''=2x-1\) Xét giá trị của \(y''\) tại \(x=-1\) và \(x=2\), chúng ta có \(y''=-3\) khi \(x=-1\) và \(y''=3\) khi \(x=2\). Vì \(y''\) thay đổi từ âm sang dương tại \(x=2\), điểm này là một cực trị tối thiểu. Trong khi đó, vì \(y''\) thay đổi từ dương sang âm tại \(x=-1\), điểm này là một cực trị tối đa. Vậy, hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1\) có cực trị tối đa tại điểm \(x=-1\) và cực trị tối thiểu tại điểm \(x=2\). 3. Hàm số thứ ba: \(y=\frac{1}{3} x^{2}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x+1\) Tương tự như trên, chúng ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số này bằng 0. Đạo hàm của hàm số này là: \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{2}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x+1)\) \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{2})+\frac{d}{dx}(\frac{3}{2} x^{2})+\frac{d}{dx}(2 x)+\frac{d}{dx}(1)\) \(y'=x+\frac{3}{2}x+2\) Giải phương trình \(x+\frac{3}{2}x+2=0\), chúng ta có \(x=-\frac{4}{5}\). Tiếp theo, chúng ta xem xét đạo hàm thứ hai của hàm số: \(y''=\frac{d}{dx}(x+\frac{3}{2}x+2)\) \(y''=1+\frac{3}{2}\) Vì \(y''\) là một hằng số dương, không có cực trị cho hàm số này. 4. Hàm số thứ tư: \(y=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1\) Tương tự như trên, chúng ta cần tìm điểm mà đạo hàm của hàm số này bằng 0. Đạo hàm của hàm số này là: \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1)\) \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^{3})+\frac{d}{dx}(\frac{1}{2} x^{2})-\frac{d}{dx}(2 x)+\frac{d}{dx}(1)\) \(y'=x^{2}+x-2\) Giải phương trình \(x^{2}+x-2=0\), chúng ta có \(x=-2\) và \(x=1\). Tiếp theo, chúng ta xem xét đạo hàm thứ hai của hàm số: \(y''=\frac{d}{dx}(x^{2}+x-2)\) \(y''=2x+1\) Xét giá trị của \(y''\) tại \(x=-2\) và \(x=1\), chúng ta có \(y''=-3\) khi \(x=-2\) và \(y''=3\) khi \(x=1\). Vì \(y''\) thay đổi từ âm sang dương tại \(x=1\), điểm này là một cực trị tối thiểu. Trong khi đó, vì \(y''\) thay đổi từ dương sang âm tại \(x=-2\), điểm này là một cực trị tối đa. Vậy, hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-2 x+1\) có cực trị tối đa tại điểm \(x=-2\) và cực trị tối thiểu tại điểm \(x=1\). 5. Hàm số thứ năm: \(y=\frac{1}{x}\) Để tính đạo hàm của hàm số này, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm nghịch đảo. Đạo hàm của hàm số này là: \(y'=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})\) \(y'=-\frac{1}{x^{2}}\) Hàm số này không có cực trị vì đạo hàm của nó không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào. 6. Hàm số thứ sáu: \(y=-\frac{1}{x}\) Tương tự như trên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số này: \(y'=\frac{d}{dx}(-\frac{1}{x})\) \(y'=\frac{1}{x^{2}}\) Tương tự như trên, hàm số này không có cực trị vì đạo hàm của nó không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào. Tóm lại, chúng ta đã phân tích và tìm cực trị của các hàm số đã cho. Chúng ta đã xác định được các điểm cực trị tối đa và tối thiểu của từng hàm số.